2019-2020学年高中数学 第2章 解析几何初步 2 2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 第2课

-1-第2课时圆与圆的位置关系学习目标核心素养1.能根据两个圆的方程，判断两个圆的位置关系．(重点)2.能根据两圆的位置关系，求有关直线或圆的方程．(难点)1.通过判断两圆的位置关系，提升直观想象素养.2.由两圆的位置关系求有关直线方程或圆的方程，培养数学运算素养.两圆之间的位置关系已知两圆：C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22，则圆心分别为C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，r2，圆心距d＝|C1C2|＝x1－x22＋y1－y22.则两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系圆心距与半径之间的关系图示两圆相离dr1＋r2两圆外切d＝r1＋r2两圆相交|r1－r2|dr1＋r2两圆内切d＝|r1－r2|两圆内含d|r1－r2|思考：若两圆只有一个公共点，两圆一定外切吗？提示：不一定，也可能相内切．1．圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9的位置关系是()A．相离B．外切C．相交D．内切-2-B[圆心距d＝－2－12＋－2－22＝5，两圆半径的和r1＋r2＝2＋3＝5，则d＝r1＋r2，即两圆外切．]2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相内切，则a＝________.±1[圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0，配方得(x－a)2＋y2＝1，两圆的连心线长为a－02＋02＝|a|＝2－1，解得a＝±1.]3．圆x2＋y2＝1与圆(x－1)2＋y2＝1的公共弦所在的直线方程为________．x＝12[设两圆相交于A，B两点，则A，B两点满足x2＋y2＝1，x－12＋y2＝1，两式相减得－2x＋1＝0，即x＝12.]两圆位置关系的判断【例1】已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则m为何值时：(1)圆C1与圆C2外切？(2)圆C1与圆C2内切？[解]圆C1，圆C2的方程经配方后为C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.其中C1(m，－2)，C2(－1，m)，r1＝3，r2＝2.(1)如果C1与C2外切，则有m＋12＋m＋22＝3＋2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，∴m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.(2)如果C1与C2内切，则有m＋12＋m＋22＝3－2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝1，∴m2＋3m＋2＝0，解得m＝－2或m＝－1.综上，当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切；当m＝－2或m＝－1时，圆C1与圆C2内切．判定两圆位置关系的步骤：1将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径；2计算圆心距，半径和，半径差的绝对值；-3-3利用圆心距，半径和，半径差的绝对值判定两圆的位置关系.1．已知圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0相交，则实数m的取值范围为______．(1,121)[圆x2＋y2＝m的圆心坐标为(0,0)，半径为r1＝m，圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0的圆心坐标为(－3,4)，半径r2＝6，圆心距：d＝－32＋42＝5，若两圆相交，则圆心距|r1－r2|＜d＜r1＋r2，所以|6－m|＜5＜6＋m，即|6－m|＜5，解得1＜m＜121.]两圆公共弦的问题【例2】已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．[思路探究]先把两圆方程化为标准方程，判断两圆的位置关系，作差求公共弦所在直线方程，求公共弦的长度．[解](1)将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝52；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝10.又|C1C2|＝25，r1＋r2＝52＋10，r1－r2＝52－10，∴r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.(3)法一：两方程联立，得方程组x2＋y2－2x＋10y－24＝0，①x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.②两式相减得x＝2y－4，③把③代入②得y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.∴x1＝－4，y1＝0，或x2＝0，y2＝2.所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．∴两圆的公共弦长为－4－02＋0－22＝25.法二：两方程联立，得方程组-4-x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，两式相减得x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程．由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝52.圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离d＝|1－2×－5＋4|1＋－22＝35，设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45＋l2，解得l＝5，所以公共弦长2l＝25.1．求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三角形，利用半径、弦心距先求半弦长，即得弦长．2．求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：2．(1)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为23，则a＝________.(2)已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．(1)1[两圆公共弦所在直线方程ay＝1，再由圆心(0,0)到直线ay＝1的距离等于1且a＞0，得a＝1.](2)解：设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.两圆位置关系的应用【例3】求过两圆x2＋y2－4＝0和x2－4x＋y2＝0的交点，且圆心在直线x－3y－6＝0上的圆的方程．[思路探究]求出交点，再求圆心和半径得圆的方程．-5-[解]法一：由x2＋y2－4＝0，x2＋y2－4x＝0，得x＝1，y＝3，或x＝1，y＝－3，因为点(1，3)和(1，－3)都在直线x＝1上，故过这两个点的圆的圆心在x轴上．又圆心在直线x－3y－6＝0上，∴圆心为(6,0)，半径r＝6－12＋32＝28.∴圆的方程为(x－6)2＋y2＝28.法二：设所求圆的方程为x2＋y2－4＋λ(x2＋y2－4x)＝0(λ≠－1)．整理得x2＋y2－4λ1＋λx－41＋λ＝0.∵圆心2λ1＋λ，0在直线x－3y－6＝0上，∴2λ1＋λ－6＝0.解得λ＝－32.∴所求圆的方程为x2＋y2－12x＋8＝0.常见的圆系方程有：①设两相交圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则C3：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λx2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0λ≠－1表示过两相交圆交点的圆不包括C2；当λ＝－1时，D1－D2x＋E1－E2y＋F1－F2＝0表示两圆的公共弦所在直线的方程.,②方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λax＋by＋c＝0，表示过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线ax＋by＋c＝0交点的圆.3．求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋3y＝0相切于点(3，－3)的圆的方程．[解]设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，将x2＋y2－2x＝0化为标准方程，得(x－1)2＋y2＝1，-6-由题意可得a－12＋b2＝r＋1，|a＋3b|2＝r，b＋3a－3×－13＝－1.解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－43，r＝6，故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.1．判断两圆的位置关系的方法(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用．(2)依据圆心距与两圆半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系．2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．1．思考辨析(1)两圆方程联立，若有两个解，则两圆相交．()(2)两圆方程联立，若无解，则两圆外离．()(3)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.()[解析](2)×，两圆方程联立，若无解，则两圆无交点，相离或内含．[答案](1)√(2)×(3)√2．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离B[圆x2＋y2－1＝0的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心C2(2，－1)，半径r2＝3，两圆心距离d＝|C1C2|＝2－02＋－1－02＝5，又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，所以r2－r1dr1＋r2，故两圆相交．]3．若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为()A．±3B．±5C．3或5D．±3或±5D[圆C1与圆C2的圆心距d＝a2＋0－02＝|a|.当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝-7-±5，当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.]4．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径长为1的圆的方程．[解]设所求圆的圆心为P(a，b)，则a－42＋b＋12＝1.①(1)若两圆外切，则有a－22＋b＋12＝1＋2＝3，②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有a－22＋b＋12＝|2－1|＝1，③联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.