2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.1.1 函数的概念讲义 新人教A

13.1.1函数的概念最新课程标准：在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．知识点一函数的概念1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域和值域函数y＝f(x)中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)．显然，值域是集合B的子集．状元随笔对函数概念的3点说明(1)当A,B为非空实数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．知识点二区间的概念1．区间的几何表示定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|axb}开区间(a，b){x|a≤xb}半开半闭区间[a，b){x|ax≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R的区间表示实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负2无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．3．无穷大的几何表示定义符号数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|xa}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|xb}(－∞，b)状元随笔关于无穷大的2点说明(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．知识点三同一函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．[教材解难]1．教材P60思考根据问题1的条件，我们不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况，所以上述说法不正确．显然，其原因是没有关注到t的变化范围．2．教材P63思考反比例函数y＝kx(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，对应关系为“倒数的k倍”，值域为{y|y≠0}．反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集A＝{x|x≠0}中的任意一个x值，按照对应关系f“倒数的k(k≠0)倍”，在集合B＝{y|y≠0}中都有唯一确定的数kx和它对应，那么此时f：A→B就是集合A到集合B的一个函数，记作f(x)＝kx(k≠0)，x∈A.3．教材P66思考初中所学习的函数传统定义与高中的近代定义之间的异同点如下：不同点：传统定义从变量变化的角度，刻画两个变量之间的对应关系；而近代定义，则从集合间的对应关系来刻画两个非空数集间的对应关系．相同点：两种对应关系满足的条件是相同的，“变量x的每一个值”以及“集合A中的每一个数”，都有唯一一个“y值”与之对应．3[基础自测]1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是()A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.答案：A2．函数f(x)＝x－1x－2的定义域为()A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．[1,2)D．[1,2)∪(2，＋∞)解析：使函数f(x)＝x－1x－2有意义，则x－1≥0，x－2≠0，即x≥1，且x≠2.所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D.答案：D3．下列各组函数表示同一函数的是()A．y＝x2－9x－3与y＝x＋3B．y＝x2－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．答案：C4．用区间表示下列集合：(1)x－12≤x5＝________；(2){x|x1或2x≤3}＝________.解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x|－12≤x5}＝4[－12，5)．(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x1或2x≤3}＝(－∞，1)∪(2,3]．答案：(1)－12，5(2)(－∞，1)∪(2,3]题型一函数的定义[经典例题]例1根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；(2)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示；(3)A＝R，B＝{y|y0}，f：x→y＝|x|；(4)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.【解析】对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.1.从本题(1)可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．2．判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．方法归纳(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．[注意]A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．5(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．跟踪训练1(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()A．0个B．1个C．2个D．3个(2)下列对应是否是函数？①x→3x，x≠0，x∈R；②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R.解析：(1)图号正误原因①×x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性②√同时满足任意性与唯一性③×x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性④×x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性答案：(1)B1①x∈[0，1]取不到[1，2].③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围.④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意.(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的3x与之对应，符合函数定义．②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．答案：(2)①是函数②不是函数(2)关键是否符合函数定义．6题型二求函数的定义域[经典例题]例2(1)函数f(x)＝x＋1x－1的定义域是()A.[－1,1)B．[－1,1)∪(1，＋∞)C．[－1，＋∞)D．(1，＋∞)(2)求下列函数的定义域．①y＝x＋2＋1x2－x－6；②y＝x－10|x|＋x.【解析】(1)由x＋1≥0，x－1≠0，解得x≥－1，且x≠1.所以所求函数的定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)．【答案】(1)B(1)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列不等式组求定义域．【解析】(2)①要使函数有意义，需满足x＋2≥0，x2－x－6≠0，即x≥－2，x≠－2且x≠3，得x－2且x≠3.所以所求函数的定义域为(－2,3)∪(3，＋∞)．②要使函数有意义，需满足x－1≠0，|x|＋x≠0，即x≠1，x0，所以x0且x≠1，所以所求函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．【答案】(2)见解析(2)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0,0的0次幂没有意义，列不等式组求定义域．方法归纳求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.7(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．跟踪训练2求下列函数的定义域：(1)f(x)＝6x2－3x＋2；(2)f(x)＝x＋10|x|－x；(3)f(x)＝2x＋3－12－x＋1x.解析：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，即x≠1且x≠2，故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．(2)要使函数有意义，则x＋1≠0，|x|－x0，解得x0且x≠－1.所以定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)．(3)要使函数有意义，则2x＋3≥0，2－x0，x≠0，解得－32≤x2，且x≠0.故定义域为－32，0∪(0,2)．(1)分母不为0(2)偶次根式被开方数≥0x＋10底数不为0(3)偶次根式被开方数≥0分母不为0题型三同一函数[教材P66例3]例3下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？(1)y＝(x)2;(2)u＝3v3；8(3)y＝x2；(4)m＝n2n.【解析】(1)y＝(x)2＝x(x∈{x|x≥0})，它与函数y＝x(x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数．(2)u＝3v3＝v(v∈R)，它与函数y＝x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)是同一个函数．(3)y＝x2＝|x|＝－x，x0，x，x≥0，它与函数y＝x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x0时，它的对应关系与函数y＝x(x∈R)不相同．所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数．(4)m＝n2n＝n(n∈{n|n≠0})，它与函数y＝x(x∈R)的对应关系相同但定义域不相同．所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数．教材反思判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3试判断下列函数是否为同一函数．(1)f(x)＝x2－xx，g(x)＝x－1；(2)f(x)＝xx，g(x)＝xx；(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；(4)f(x)＝|x|，g(x)＝x2.解析：9序号是否相同原因(1)不同定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R(2)不同对应关系不同，f(x)＝1x，g(x)＝x(3)不同定义域相同，对应关系不同(4)相同定义域和对应关系相同判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．题型四求函数的值域[经典例题]例4求下列函数的值域．(1)y＝3－4x，x∈(－1,3]．(2)y＝2xx＋1.(3)y＝x2－4x＋5，x∈{1,2,3}．(4)y＝x2－4x＋5.【解析】(1)因为－1x≤3，所以－12≤－4x4，所以－9≤3－4x7，所以函数y＝3－4x，x∈(－1,3]的值域是[－9,7)．(2)因为y＝2xx＋1＝2x＋1－2x＋1＝2－2x＋1≠2，所以函数y＝2xx＋1的值域为{y|y∈R且y≠2}．(3)函数的定义