2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.3.2 对数的运算讲义 新人教

14.3.2对数的运算知识点一对数的运算性质若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，(2)logaMN＝logaM－logaN，(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．状元随笔对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立.例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．知识点二对数换底公式logab＝logcblogca(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0)．特别地：logab·logba＝1(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．状元随笔对数换底公式常见的两种变形(1)logab·logba＝1，即1logab＝logba，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数.(2)logNnMm＝mnlogNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的mn倍．[教材解难]换底公式的推导设x＝logab，化为指数式为ax＝b，两边取以c为底的对数，得logcax＝logcb，即xlogca＝logcb.所以x＝logcblogca，即logab＝logcblogca.[基础自测]1．下列等式成立的是()2A．log2(8－4)＝log28－log24B.log28log24＝log284C．log28＝3log22D．log2(8＋4)＝log28＋log24解析：由对数的运算性质易知C正确．答案：C2.log49log43的值为()A.12B．2C.32D.92解析：原式＝log39＝2.答案：B3．2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4解析：原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.答案：C4．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为________．解析：log32＝ln2ln3＝ab.答案：ab题型一对数运算性质的应用[教材P124例3]例1求下列各式的值：(1)lg5100；(2)log2(47×25)．【解析】(1)lg5100＝lg10015＝15lg100＝25；(2)log2(47×25)＝log247＋log2253＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.利用对数运算性质计算．教材反思1．对于同底的对数的化简，常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg2＋lg5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练1(1)计算：lg52＋2lg2－12－1＝________.(2)求下列各式的值．①log53＋log513②(lg5)2＋lg2·lg50③lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.解析：(1)lg52＋2lg2－12－1＝lg5－lg2＋2lg2－2＝(lg5＋lg2)－2＝1－2＝－1.(2)①log53＋log513＝log53×13＝log51＝0.②(lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.③原式＝lg25＋lg823＋lg102·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(lg10－lg2)(lg10＋lg2)＋(lg2)2＝lg100＋(lg10)2－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.答案：(1)－1(2)见解析利用对数运算性质化简求值．题型二对数换底公式的应用[经典例题]4例2(1)已知2x＝3y＝a，1x＋1y＝2，则a的值为()A．36B．6C．26D.6(2)计算下列各式：①log89·log2732.②2lg4＋lg5－lg8－3382-3.③6413＋lg4＋2lg5.【解析】(1)因为2x＝3y＝a，所以x＝log2a，y＝log3a，所以1x＋1y＝1log2a＋1log3a＝loga2＋loga3＝loga6＝2，所以a2＝6，解得a＝±6.又a＞0，所以a＝6.(2)①log89·log2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.②2lg4＋lg5－lg8－3382-3＝lg16＋lg5－lg8－132782＝lg16×58－1322＝1－49＝59.③6413＋lg4＋2lg5＝4＋lg(4×52)＝4＋2＝6.【答案】(1)D(2)见解析状元随笔1.先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分．方法归纳5(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．(2)换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganbm＝mnlogab.跟踪训练2(1)式子log916·log881的值为()A.18B.118C.83D.38(2)(log43＋log83)(log32＋log98)等于()A.56B.2512C.94D．以上都不对解析：(1)原式＝log3224·log2334＝2log32·43log23＝83.(2)原式＝log33log34＋log33log38·log32＋log38log39＝12log32＋13log32·log32＋3log322＝56log32×52log32＝2512.答案：(1)C(2)B利用换底公式化简求值．题型三用已知对数表示其他对数例3已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.解析：方法一因为log189＝a，所以9＝18a.又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.又因为log2×1818＝1log1818×2＝11＋log182＝11＋log18189＝11＋1－log189＝12－a，所以原式＝a＋b2－a.方法二∵18b＝5，∴log185＝b.∴log3645＝log1845log1836＝log185×9log184×9＝log185＋log1892log182＋log189＝a＋b2log18189＋log189＝a＋b2－2log189＋log189＝a＋b2－a.状元随笔方法一对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．6方法二先求出a、b，再利用换底公式化简求值.方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；(3)注意一些派生公式的使用．跟踪训练3(1)已知log62＝p，log65＝q，则lg5＝________；(用p，q表示)(2)①已知log147＝a,14b＝5，用a，b表示log3528.②设3x＝4y＝36，求2x＋1y的值．解析：(1)lg5＝log65log610＝qlog62＋log65＝qp＋q.(2)①∵log147＝a,14b＝5，∴b＝log145.∴log3528＝log1428log1435＝log141427log145×7＝log14142－log147log145＋log147＝2－aa＋b.②∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，∴1x＝1log336＝1log3636log363＝log363，1y＝1log436＝1log3636log364＝log364，∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.答案：(1)qp＋q(2)①2－aa＋b②1(1)利用换底公式化简．(2)利用对数运算性质化简求值．7课时作业22一、选择题1．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，下列式子：①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③logaxy＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.其中正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：根据对数的性质知4个式子均不正确．答案：A2．化简12log612－2log62的结果为()A．62B．122C．log63D.12解析：12log612－2log62＝12(1＋log62)－log62＝12(1－log62)＝12log63＝log63.答案：C3．设lg2＝a，lg3＝b，则lg12lg5＝()A.2a＋b1＋aB.a＋2b1＋aC.2a＋b1－aD.a＋2b1－a解析：lg12lg5＝lg3＋lg4lg5＝lg3＋2lg21－lg2＝2a＋b1－a.答案：C4．若log34·log8m＝log416，则m等于()A．3B．9C．18D．27解析：原式可化为log8m＝2log34，lgm3lg2＝2lg4lg3，8即lgm＝6lg2·lg32lg2，lgm＝lg27，m＝27.故选D.答案：D二、填空题5．lg10000＝________；lg0.001＝________.解析：由104＝10000知lg10000＝4,10－3＝0.001得lg0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.答案：4－36．若log513·log36·log6x＝2，则x等于________．解析：由换底公式，得－lg3lg5·lg6lg3·lgxlg6＝2，lgx＝－2lg5，x＝5－2＝125.答案：1257.lg2＋lg5－lg12lg12＋lg8·(lg32－lg2)＝________.解析：原式＝lg2×5－0lg122×8×lg322＝1lg2·lg24＝4.答案：4三、解答题8．化简：(1)lg3＋25lg9＋35lg27－lg3lg81－lg27；(2)(lg5)2＋lg2lg50＋211+log252.解析：(1)方法一(正用公式)：原式＝lg3＋45lg3＋910lg3－12lg34lg3－3lg3＝1＋45＋910－12lg3lg3＝115.9方法二(逆用公式)：原式＝lg3×925×2712×35×3－12lg8127＝lg3115lg3＝115.(2)原式＝(lg5)2＋lg2(lg5＋1)＋21·22log5＝lg5·(lg5＋lg2)＋lg2＋25＝1＋25.9．计算：(1)log1627log8132；(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．解析：(1)log1627log8132＝lg27lg16×lg32lg81＝lg33lg24×lg25lg34＝3lg34lg2×5lg24lg3＝1516.(2)(log32＋log92)(log43＋log83)＝log32＋log32log39log23log24＋log23log28＝log32＋12log3212log23＋13log23＝32log32×56log23＝54×lg2lg3×lg3lg2＝54.[尖子生题库]10．已知2x＝3y＝6z≠1，求证：1x＋1y＝1z.证明：设2x＝3y＝6z＝k(k≠1)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log6k，∴1x＝logk2，1y＝logk3，1z＝logk6＝logk2＋logk3，∴1z＝1x＋1y.10