2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.2.2 同角三角函数的基本关系讲义 新人

15.2.2同角三角函数的基本关系最新课程标准：理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.知识点同角三角函数的基本关系式状元随笔(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.[教材解难]同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23a＝1.(2)sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2.(3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如：式子tan90°＝sin90°cos90°不成立．再如：sin2α＋cos2β＝1就不一定恒成立．[基础自测]1．若α为第二象限角，且sinα＝23，则cosα＝()2A．－53B.13C.53D．－13解析：∵α是第二象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－53.答案：A2．已知tanα＝12，且α∈π，3π2，则sinα的值是()A．－55B.55C.255D．－255解析：∵α∈(π，3π2)，∴sinα0.由tanα＝sinαcosα＝12，sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝－55.答案：A3．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于()A．－1B．0C．1D．2解析：原式＝1＋sin2αcos2α·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.答案：C4．已知tanα＝－12，则2sinαcosαsin2α－cos2α的值是________．解析：2sinαcosαsin2α－cos2α＝2tanαtan2α－1＝2×－12－122－1＝43.答案：43题型一利用同角基本关系式求值[经典例题]例1(1)已知sinα＝15，求cosα，tanα；3(2)已知tanα＝3，求3sin2α－cos2α2sin2α－6cos2α.【解析】(1)因为sinα＝150，且sinα≠1，所以α是第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝1－125＝265，tanα＝sinαcosα＝612；②当α为第二象限角时，cosα＝－1－sin2α＝－265，tanα＝－612.(2)分子、分母同除以cos2α，得3sin2α－cos2α2sin2α－6cos2α＝3tan2α－12tan2α－6.又tanα＝3，所以3sin2α－cos2α2sin2α－6cos2α＝3×32－12×32－6＝136.状元随笔(1)已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的余弦值或正弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可．(2)利用同角基本关系式，分子、分母同除以cos2α，把正弦、余弦化成正切．方法归纳求同角三角函数值的一般步骤(1)根据已知三角函数值的符号，确定角所在的象限．(2)根据(1)中角所在象限确定是否对角所在的象限进行分类讨论．(3)利用两个基本公式求出其余三角函数值．跟踪训练1(1)本例(2)条件变为sinα＋cosαsinα－cosα＝2，求3sinα－cosα2sinα＋3cosα的值．(2)本例(2)条件不变，求4sin2α－3sinα·cosα－5cos2α的值．解析：(1)法一：由sinα＋cosαsinα－cosα＝2，化简得sinα＝3cosα，原式＝3×3cosα－cosα2×3cosα＋3cosα＝8cosα9cosα＝89.法二：由sinα＋cosαsinα－cosα＝2得tanα＝3，原式＝3tanα－12tanα＋3＝3×3－12×3＋3＝89.(2)原式＝4sin2α－3sinα·cosα－5cos2αsin2α＋cos2α＝4tan2α－3tanα－5tan2α＋1＝4×9－3×3－59＋1＝115.4形如(2)式的求解，应灵活利用“1”的代换，将整式变为分式，即利用分式的性质将式子变为关于tanα的代数式，从而代入求值．题型二化简三角函数式[经典例题]例2化简：(1)sinα1＋sinα－sinα1－sinα；(2)1＋2sin10°cos10°cos10°＋1－cos210°.【解析】(1)sinα1＋sinα－sinα1－sinα＝sinα1－sinα－sinα1＋sinα1＋sinα1－sinα＝－2sin2α1－sin2α＝－2sin2αcos2α＝－2tan2α.(2)1＋2sin10°cos10°cos10°＋1－cos210°＝cos10°＋sin10°2cos10°＋sin10°＝|cos10°＋sin10°|cos10°＋sin10°＝1.(1)利用同角基本关系化简．(2)注意1的活用．例如1＋2sin10°cos10°＝sin210°＋cos210°＋2sin210°cos10°＝(cos10°＋sin10°)2方法归纳三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．跟踪训练2(1)化简：1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin2130°；(2)化简：sin2αtanα＋2sinαcosα＋cos2αtanα.解析：(1)原式＝sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°sin130°＋cos2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1.5(2)原式＝sin2α·sinαcosα＋2sinαcosα＋cos2α·cosαsinα＝sin4α＋2sin2αcos2α＋cos4αsinαcosα＝sin2α＋cos2α2sinαcosα＝1sinαcosα.(1)1－sin2130°＝cos2130°，1－2sin130°cos130°＝(sin130°－cos130°)2.(2)式子中的tanα应化为sinαcosα，如果出现分式，一般应通分．题型三利用同角三角函数关系证明[教材P183例7]例3求证cosx1－sinx＝1＋sinxcosx.【证明】证明1：由cosx≠0，知sinx≠－1，所以1＋sinx≠0，于是左边＝cosx1＋sinx1－sinx1＋sinx＝cosx1＋sinx1－sin2x＝cosx1＋sinxcos2x＝1＋sinxcosx＝右边．所以，原式成立．证明2：因为(1－sinx)(1＋sinx)＝1－sin2x＝cos2x＝cosxcosx，且1－sinx≠0，cosx≠0，所以cosx1－sinx＝1＋sinxcosx.教材反思证明简单三角恒等式的思路(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．(2)证明左右两边等于同一个式子．(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．跟踪训练3求证：61－2sin2xcos2xcos22x－sin22x＝1－tan2x1＋tan2x.解析：证明：因为左边＝cos22x＋sin22x－2sin2xcos2xcos22x－sin22x＝cos2x－sin2x2cos2x－sin2xcos2x＋sin2x＝cos2x－sin2xcos2x＋sin2x＝1－tan2x1＋tan2x＝右边，所以等式成立．左边是含正、余弦的式子，右边是含有正切的式子，因此需要弦化切，左边的分子可以用平方关系，分母可以用平方差公式实现变形．题型四sinα±cosα型求值[经典例题]sinα＋cosα＝13两边平方→求出2sinαcosα的值→求sinα－cosα的值例4已知sinα＋cosα＝13，其中0απ，求sinα－cosα的值．【解析】因为sinα＋cosα＝13，所以(sinα＋cosα)2＝19，可得：sinα·cosα＝－49.因为0απ，且sinα·cosα0，所以sinα0，cosα0.所以sinα－cosα0，又(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝179，所以sinα－cosα＝173.方法归纳已知sinα±cosα的求值问题的方法对于已知sinα±cosα的求值问题，一般利用整体代入的方法来解决，其具体的解法为：(1)用sinα表示cosα(或用cosα表示sinα)，代入sin2α＋cos2α＝1，根据角α的终边所在的象限解二次方程得sinα的值(或cosα的值)，再求其他，如tanα(体现方程思想)．(2)利用sinα±cosα的平方及sin2α＋cos2α＝1，先求出sinαcosα的值，然后求出sinα∓cosα的值(要注意结合角的范围确定符号)从而求解sinα，cosα的值，再求其他.7跟踪训练4已知x是第三象限角，且cosx－sinx＝55.(1)求cosx＋sinx的值；(2)求2sin2x－sinxcosx＋cos2x的值．解析：(1)(cosx－sinx)2＝1－2sinxcosx＝15，所以2sinxcosx＝45，所以(cosx＋sinx)2＝1＋2sinxcosx＝95，因为x是第三象限角，所以cosx＋sinx0，所以cosx＋sinx＝－355.(2)由cosx＋sinx＝－355，cosx－sinx＝55，解得cosx＝－55，sinx＝－255，所以2sin2x－sinxcosx＋cos2x＝2×45－25＋15＝75.1.把cosx－sinx＝55平方2．注意x的范围3．分别求出sinx、cosx课时作业30一、选择题1．已知α是第二象限角，且cosα＝－1213，则tanα的值是()A.1213B．－1213C.512D．－5128解析：∵α为第二象限角，∴sinα＝1－cos2α＝1－－12132＝513，∴tanα＝sinαcosα＝513－1213＝－512.答案：D2．已知cosα－sinα＝－12，则sinαcosα的值为()A.38B．±38C．－34D．±34解析：由已知得(cosα－sinα)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1－2sinαcosα＝14，所以sinαcosα＝38.答案：A3．化简1sinα＋1tanα(1－cosα)的结果是()A．sinαB．cosαC．1＋sinαD．1＋cosα解析：1sinα＋1tanα(1－cosα)＝1sinα＋cosαsinα(1－cosα)＝1－cos2αsinα＝sin2αsinα＝sinα.答案：A4．已知|sinθ|＝15，且9π2θ5π，则tanθ的值是()A.612B．－26C．－612D．26解析：因为9π2θ5π，所以θ为第二象限角，所以sinθ＝15，所以cosθ＝－265，所以tanθ＝－612.答案：C二、填空题95．若sinθ＝－45，tanθ0，则cosθ＝________.解析：由已知得θ是第三象限角，所以cosθ＝－1－sin2θ＝－1－－452＝－35.答案：－356．已知sinαcosα＝12，则sinα－cosα＝________.解析：因为(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×12＝0，所以sinα－cosα＝0.答案：07．已知sinα＋cosαsinα－cosα＝2，则sinαcosα的值为__