2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.5.1.1 两角差的余弦公式讲义 新人教

1第1课时两角差的余弦公式最新课程标准：经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.知识点两角差的余弦公式名称简单符号公式使用条件两角差的余弦C(α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β为任意角状元随笔公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式．[教材解难](1)注意事项：不要误记为cos(α－β)＝cosα－cosβ或cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；同时还要注意公式的适用条件是α，β为任意角．(2)该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法．公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如构造角β＝(α＋β)－α，β＝α＋β2－α－β2等．[基础自测]1．cos(45°－60°)等于()A.22B.32C.2＋34D.2＋64解析：cos(45°－60°)＝cos45°cos60°＋sin45°sin60°＝22×12＋22×32＝2＋64.答案：D2．cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°等于()2A.12B.32C.33D.3解析：原式＝cos(45°－15°)＝cos30°＝32.答案：B3．cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是()A．0B.12C.32D．－12解析：原式＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.故选B.答案：B4．已知cosα＝15，α∈0，π2，则cosα－π3＝________.解析：因为cosα＝15，α∈0，π2，所以sinα＝1－cos2α＝1－152＝265.所以cosα－π3＝cosαcosπ3＋sinαsinπ3＝15×12＋265×32＝1＋6210.答案：1＋6210题型一运用公式化简求值例1化简求值：(1)cos63°sin57°＋sin117°sin33°；(2)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.【解析】(1)原式＝cos63°cos33°＋sin63°sin33°＝cos(63°－33°)＝cos330°＝32.(2)原式＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.(1)由117°＝180°－63°，57°＝90°－33°，利用诱导公式化成同角．(2)利用公式求值．方法归纳两角差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．跟踪训练1求值：(1)cos15°＝________；(2)cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝________.解析：(1)cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)原式＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.答案：(1)6＋24(2)12(1)15°＝45°－30°.(2)利用公式求值．题型二给值求值问题例2已知sinα＝45，α∈π2，π，cosβ＝－513，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．【解析】由sinα＝45，α∈π2，π，得cosα＝－1－sin2α＝－1－452＝－35.4又由cosβ＝－513，β是第三象限角，得sinβ＝－1－cos2β＝－1－－5132＝－1213.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－35×－513＋45×－1213＝－3365.由sinα求cosα，由cosβ求sinβ再利用cos(α－β)公式求值．教材反思给值求值的解题策略(1)利用两角差的余弦公式进行条件求值时，关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式．(2)常用的变角技巧有α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，α＋β＝(2α＋β)－α，α＋β＝(α＋2β)－β，α＋β＝α＋π4－π4－β等．跟踪训练2已知α，β∈0，π2，且sinα＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cosβ的值．解析：因为α，β∈0，π2，所以0α＋βπ，由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365，又sinα＝45，所以cosα＝35，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1665×35＋6365×45＝204325.β看成是β＝(α＋β)－α，从已知条件中求出(α＋β)与α的正、余弦的值，然后运用差角的余弦公式．题型三由三角函数值求角5例3已知cosα＝55，cos(α＋β)＝－1010，且0βαπ2，求β的值．【解析】因为0βαπ2，所以0α＋βπ，由cosα＝55，cos(α＋β)＝－1010，得sinα＝255，sin(α＋β)＝31010，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1010×55＋31010×255＝22.所以β＝π4.要求β，因为0βπ2所以先求cosβ，又cosβ＝cos[(α＋β)－α]再利用公式求值．方法归纳(1)要求角需先求这个角的三角函数值，然后根据范围得出角的值．(2)已知一个角的正弦值(余弦值)求余弦值(正弦值)时，要根据角的范围确定其符号．跟踪训练3已知α，β均为锐角，且sinα＝255，sinβ＝1010，则α－β＝________.解析：因为α，β均为锐角，所以cosα＝55，cosβ＝31010.所以cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝55×31010＋255×1010＝22.又因为sinαsinβ，所以0βαπ2，所以0α－βπ2，故α－β＝π4.6答案：π4由sinα，sinβ求cosα，cosβ，再利用公式先求cos(α－β)的值，再求α－β的范围，最后求α－β的值．课时作业37一、选择题1．cos65°cos35°＋sin65°sin35°等于()A．cos100°B．sin100°C.32D.12解析：cos65°cos35°＋sin65°sin35°＝cos(65°－35°)＝cos30°＝32.故选C.答案：C2．cos5π12cosπ6＋cosπ12sinπ6的值是()A．0B.12C.22D.32解析：5π12和π12不是特殊角，但5π12＋π12＝π2，所以本题可利用角的互余关系转化函数名，逆用C(α－β)求值．cos5π12cosπ6＋cosπ12sinπ6＝cos5π12cosπ6＋sin5π12sinπ6＝cos5π12－π6＝cosπ4＝22.答案：C3．sinα＝35，α∈π2，π，则cosπ4－α的值为()A．－25B．－2107C．－7210D．－725解析：由条件可得cosα＝－45，∴cosπ4－α＝22cosα＋22sinα＝22(cosα＋sinα)＝22－45＋35＝－210，故选B.答案：B4．设α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(α－β)＝1010，则cosβ等于()A.22B．－210C.22或－210D.22或210解析：因为α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(α－β)＝1010，所以sinα＝1－cos2α＝255；同理可得cos(α－β)＝31010，所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22，故选A.答案：A二、填空题5．求值：cos15°cos105°－sin15°sin105°＝________.解析：原式＝cos(15°＋105°)＝cos120°＝－12.答案：－126．计算：cos555°＝________.解析：cos555°＝cos(720°－165°)＝cos165°8＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝－22×32＋22×12＝－6＋24.答案：－6＋247．已知sinα＝1517，α∈π2，π，则cosπ4－α的值为________．解析：∵sinα＝1517，α∈π2，π，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－15172＝－817，∴cosπ4－α＝cosπ4cosα＋sinπ4sinα＝22×－817＋22×1517＝7234.答案：7234三、解答题8．计算下列各式的值：(1)cos56°cos26°＋sin56°sin26°；(2)cosπ4＋θcosθ＋sinπ4＋θsinθ.解析：(1)cos56°cos26°＋sin56°sin26°＝cos(56°－26°)＝cos30°＝32.(2)cosπ4＋θcosθ＋sinπ4＋θsinθ＝cosπ4＋θ－θ＝cosπ4＝22.9．已知cosα－π6＋sinα＝453，求cosα－π3的值．解析：因为cosα－π6＋sinα＝32cosα＋32sinα＝453，所以12cosα＋32sinα＝45，所以cosα－π3＝12cosα＋32sinα＝45.9[尖子生题库]10．已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，求β的值．解析：由cosα＝17，0απ2，得sinα＝1－cos2α＝1－172＝437，由0βαπ2，得0α－βπ2.又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，所以β＝π3.