2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.5.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切

1第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式最新课程标准：能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.知识点一两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，简记为C(α＋β)，使用的条件为α，β为任意角．知识点二两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βα，β∈R状元随笔公式的记忆方法(1)理顺公式间的联系．C(α＋β)――→以－β代βC(α－β)――→诱导公式S(α－β)――→以－β代βS(α＋β)(2)注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β)，sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)，cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)．知识点三两角和与差的正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβT(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)两角差的正切tan(α－β)＝T(α－β)α，β，α－β≠2tanα－tanβ1＋tanαtanβkπ＋π2(k∈Z)状元随笔公式T(α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．[教材解难]1．教材P217思考能．例如把－β代入β由C(α－β)可求出C(α＋β)．2．教材P219思考成立．方法一：sinπ4－α＝sinπ2－π4＋α＝cosπ4＋α或cosπ4＋α＝cosπ2－π4－α＝sinπ4－α.方法二：由于sinπ4－α＝sinπ4cosα－cosπ4sinα＝22(cosα－sinα)，cosπ4＋α＝cosπ4cosα－sinπ4sinα＝22(cosα－sinα)，故sinπ4－α＝cosπ4＋α.[基础自测]1．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于()A．0B.12C.32D．13解析：sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin(15°＋75°)＝sin90°＝1.答案：D2．设α∈0，π2，若sinα＝35，则2cosα＋π4＝()A.75B.15C．－75D．－15解析：易得cosα＝45，则2cosα＋π4＝2cosαcosπ4－sinαsinπ4＝15.答案：B3．已知tanα＝4，tanβ＝3，则tan(α＋β)＝()A.711B．－711C.713D．－713解析：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝4＋31－4×3＝－711.答案：B4．已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.解析：由sinα＋cosβ＝1与cosα＋sinβ＝0分别平方相加得sin2α＋2sinαcosβ＋cos2β＋cos2α＋2cosαsinβ＋sin2β＝1，即2＋2sinαcosβ＋2cosαsinβ＝1，所以sin(α＋β)＝－12.答案：－12题型一给角求值[教材P219例4]例1利用和(差)角公式计算下列各式的值：(1)sin72°cos42°－cos72°sin42°；4(2)cos20°cos70°－sin20°sin70°；(3)1＋tan15°1－tan15°.【解析】(1)由公式S(α－β)，得sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝12.(2)由公式C(α＋β)，得cos20°cos70°－sin20°sin70°＝cos(20°＋70°)＝cos90°＝0.(3)由公式T(α＋β)及tan45°＝1，得1＋tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝3.和、差角公式把α±β的三角函数式转化成了α，β的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简．教材反思解决给角求值问题的方法(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．跟踪训练1求值：(1)cos105°；(2)cos31°＋cos91°sin29°；(3)3－tan15°1＋3tan15°.解析：(1)cos105°＝cos(60°＋45°)＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝12×22－32×22＝2－64.(2)cos31°＋cos91°sin29°＝cos31°＋cos60°＋31°sin29°5＝cos31°＋cos60°cos31°－sin60°sin31°sin29°＝32cos31°－32sin31°sin29°＝3sin()60°－31°sin29°＝3.(3)3－tan15°1＋3tan15°＝tan60°－tan15°1＋tan60°tan15°＝tan45°＝1.(1)105°＝60°＋45°(2)找到31°、91°、29°之间的联系利用公式化简求值．题型二给值求值例2已知π2βα3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos2α与cos2β的值．【解析】因为π2βα3π4，所以0α－βπ4，πα＋β3π2.所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－12132＝513，cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1－－352＝－45.所以cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213－－35×513＝－3365，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213＋－35×513＝－6365.1．正确判断α－β，α＋β的范围是求解前提．2．巧妙利用角的变换方法，是求解此类题目常用方法．方法归纳给值(式)求值的策略(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．6跟踪训练2本例条件变为：π2βα3π4，sin(α－β)＝513，sin(α＋β)＝－513，求sin2β的值．解析：因为π2βα3π4，所以0α－βπ4，πα＋β32π.所以cos(α－β)＝1213，cos(α＋β)＝－1213，sin2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)＝－513×1213－－1213×513＝0.(1)由已知求出α－β、α＋β的范围．(2)2β＝(α＋β)－(α－β)．(3)利用公式求值．题型三给值求角例3已知cosα＝17，sin(α＋β)＝5314，0απ2，0βπ2，求角β的值．【解析】因为0απ2，cosα＝17，所以sinα＝437.又因为0βπ2，所以0α＋βπ.因为sin(α＋β)＝5314sinα，所以cos(α＋β)＝－1114，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝5314×17－－1114×437＝32.又因为0βπ2，所以β＝π3.(1)已知α的范围及cosα，求sinα.(2)求α＋β的范围及sin(α＋β)，求cos(α＋β)．(3)利用sinβ＝sin[(α＋β)－α]，求值．方法归纳解决给值(式)求角问题的方法7解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是π2，3π2或－π2，π2时，选取求正弦值．跟踪训练3已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解析：tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171－12×－17＝13.又因为α∈(0，π)，而tanα0，所以α∈0，π2.tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tanα－β1－tanαtanα－β＝13＋121－13×12＝1.因为tanβ＝－17，β∈(0，π)，所以β∈π2，π，所以α－β∈(－π，0)．由tan(α－β)＝120，得α－β∈－π，－π2，所以2α－β∈(－π，0)．又tan(2α－β)＝1，所以2α－β＝－3π4.(1)先求tanα＝tan[(α－β)＋β](2)再求tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)](3)由已知求2α－β的范围，最后求值易错易误忽略条件中隐含的角的范围而致错例已知tan2α＋6tanα＋7＝0，tan2β＋6tanβ＋7＝0，α，β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．【错解】由题意知tanα，tanβ是方程x2＋6x＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：8tanα＋tanβ＝－6，①tanαtanβ＝7，②∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－61－7＝1.∵0απ，0βπ，∴0α＋β2π，∴α＋β＝π4或α＋β＝54π.【错因分析】由①②知tanα0，tanβ0.角α，β都是钝角，上述解法忽视了这一隐含条件．【正解】由tanα＋tanβ＝－6tanαtanβ＝7易知tanα0，tanβ0.∵α，β∈(0，π)∴π2απ，π2βπ.∴πα＋β2π.又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.【点评】在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其他知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大．解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误．课时作业38一、选择题1．sin105°的值为()A.3＋22B.2＋12C.6－24D.2＋64解析：sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝22×12＋22×32＝2＋64.答案：D2．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()9A．－32B.32C．－12D.12解析：原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝12.答案：D3．若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4＝()A．－7210B.7210C．－210D.210解析：因为cosα＝－45，α是第三象限的角，所以sinα＝－35，由两角和的正弦公式可得sinα＋π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝－35×22