2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 3 弧度制学案 北师大版必修4

-1-§3弧度制学习目标核心素养1.了解角的另外一种度量方法——弧度制．2．能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点)3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)1.通过学习弧度制的概念，提升数学抽象素养．2．通过角度制和弧度制的换算及弧长公式和面积公式的应用，培养数学运算素养.1．弧度制(1)弧度制的定义在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．(2)角度制与弧度制的互化①弧度数(ⅰ)正角的弧度数是一个正数；(ⅱ)负角的弧度数是一个负数；(ⅲ)零角的弧度数是0；(ⅳ)弧度数与十进制实数间存在一一对应关系．②弧度数的计算|α|＝lr.如图：③角度制与弧度制的换算-2-④一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0°1°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π180π6π4π3π22π33π45π6π3π22π思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？[提示]在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关．2．弧长公式与扇形面积公式已知r为扇形所在圆的半径，n为圆心角的度数，α为圆心角的弧度数．角度制弧度制弧长公式l＝|n|πr180l＝|α|r扇形面积公式S＝|n|πr2360S＝12l·r＝12|α|r2思考2：扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？[提示]设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则S＝12lr，l＝αr.1．下列说法中，错误的说法是()A．半圆所对的圆心角是πradB．周角的大小是2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度D[根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．]2．时针经过一小时，时针转过了()A．π6radB．－π6radC．π12radD．－π12radB[时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－π6rad，故选B.]3．若θ＝－5，则角θ的终边在()A．第四象限B．第三象限-3-C．第二象限D．第一象限D[2π－5与－5的终边相同，∵2π－5∈0，π2，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角．]4．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1B．4C．1或4D．2或4C[设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，则由题意得2r＋αr＝6，12αr2＝2，∴r＝1，α＝4或r＝2，α＝1.]角度与弧度的互化【例1】设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝4π5，β2＝－11π6.(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．[解](1)∵1°＝π180rad，∴α1＝510°＝510×π180＝176π，α2＝－750°＝－750×π180＝－256π.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限．(2)β1＝4π5＝4π5×180°π＝144°.设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)．∵－360°≤θ1＜360°，∴－360°≤k·360°＋144°＜360°.∴k＝－1或k＝0.∴在－360°～360°范围内与β1终边相同的角是－216°.β2＝－11π6＝－11π6×180°π＝－330°.-4-设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)．∵－360°≤θ2＜360°，∴－360°≤k·360°－330°＜360°.∴k＝0或k＝1.∴在－360°～360°范围内与β2终边相同的角是30°.角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝πrad，充分利用1°＝π180rad和1rad＝180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝α·180°π；n°＝n·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．1．将下列角度与弧度进行互化：(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.[解](1)20°＝20×π180rad＝π9rad.(2)－15°＝－15×π180rad＝－π12rad.(3)712πrad＝712×180°＝105°.(4)－115πrad＝－115×180°＝－396°.用弧度制表示终边相同的角【例2】(1)把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α2π；(2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β.[解](1)∵－1480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π92π，∴－1480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.-5-(2)∵β与α终边相同，∴β＝2kπ＋16π9，k∈Z.又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.1．根据已知图形写出区域角的集合的步骤：(1)仔细观察图形；(2)写出区间边界对应的角；(3)用不等式表示区域范围内的角．2．注意事项：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错．2．(1)把－1125°化为2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式是()A．－6π－π4B．－6π＋7π4C．－8π－π4D．－8π＋7π4(2)在0°～720°范围内，找出与角22π5终边相同的角．(1)D[因为－1125°＝－4×360°＋315°，315°＝315×π180＝7π4，所以－1125°＝－8π＋7π4.](2)解：因为22π5＝4π＋25π＝720°＋72°，所以与角22π5终边相同的角构成集合{θ|θ＝72°＋k·360°，k∈Z}．当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°，所以在0°～720°范围内，与角22π5终边相同的角为72°，432°.弧长公式与面积公式的应用[探究问题]1．扇形的半径，弧长及圆心角存在怎样的关系？[提示]|α|＝lr.-6-2．扇形的面积和相应的弧长存在怎样的关系？[提示]S＝12lr.【例3】一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．[思路探究]设扇形的半径为R，弧长为l→根据条件列方程组→解方程组求R、l→求圆心角[解]设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝12lR，得1＝12(4－2R)·R，∴R＝1，∴l＝2，∴α＝lR＝21＝2，即扇形的圆心角为2rad.1．(变条件)将例3中的条件改为“扇形的面积为4，周长为10，试求圆心角α(0α2π)的弧度数．[解]设弧长为l，扇形半径为r，由题意得：l＋2r＝10，12lr＝4，解得r＝4，l＝2或r＝1，l＝8.(舍)故α＝24＝12(rad)，即扇形的圆心角为12rad.2．(变条件，变结论)将例3的条件改为“已知扇形的周长为40cm”．问：当它的半径和圆心角取什么值时，才使扇形的面积最大？[解]设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r，∴S＝12lr＝12×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.∴当半径r＝10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，此时θ＝lr＝40－2×1010＝2(rad)．∴当扇形的圆心角为2rad，半径为10cm时，扇形的面积最大为100cm2.-7-灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝πrad”这一关系式．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．()(2)1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π.()(3)180°等于π弧度．()[答案](1)√(2)√(3)√2．－72°化为弧度是()A．－π3B．－25πC．－5π6D．－5π7B[－72°＝－72×π180＝－25π.]3．－2312π化为角度为________．－345°[－2312π＝－2312π×180°π＝－345°.]4．设集合M＝αα＝kπ2－π3，k∈Z，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________.－56π，－π3，π6，23π[由－π＜kπ2－π3＜π，得－43＜k＜83.因为k∈Z，所以k＝－-8-1,0,1,2，所以M∩N＝－56π，－π3，π6，23π.]5．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．3248[|α|＝lr＝128＝32rad，S＝12l·r＝12×12×8＝48.]