2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 5 5.2 正弦函数的性质学案 北师大版必修4

-1-5.2正弦函数的性质学习目标核心素养1.理解、掌握正弦函数的性质．(重点)2．会求简单函数的定义域、值域．(重点)3．能利用单调性比较三角函数值的大小．(难点)1.通过理解正弦函数的性质，培养数学抽象素养．2．通过求简单函数的定义域、值域、比较三角函数的大小，提升数学运算素养.正弦函数的性质性质定义域R值域[－1,1]最大值与最小值当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝2kπ＋3π2(k∈Z)时，ymin＝－1周期性周期函数，T＝2π性质单调性在2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上是增加的；在2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)上是减少的奇偶性奇函数对称性图像关于原点对称，对称中心(kπ，0)，k∈Z；对称轴x＝kπ＋π2，k∈Z思考：正弦函数的周期为2π，在研究正弦函数性质时，选取哪个区间研究，既好学，又有效？[提示]选取－π2，32π上的图像来研究，即可掌握整个定义域上的性质．1．下列函数中是奇函数的是()A．y＝－|sinx|B．y＝sin(－|x|)C．y＝sin|x|D．y＝xsin|x|D[利用定义，显然y＝xsin|x|是奇函数．]-2-2．已知M和m分别是函数y＝13sinx－1的最大值和最小值，则M＋m等于()A．23B．－23C．－43D．－2D[因为M＝ymax＝13－1＝－23，m＝ymin＝－13－1＝－43，所以M＋m＝－23－43＝－2.]3．若函数f(x)＝sin2x＋a－1是奇函数，则a＝________.1[由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)得a＝1.]4．函数y＝|sinx|的值域是________．[0,1][由函数y＝|sinx|的图像(图略)可知为[0,1]．]正弦函数的周期性与奇偶性【例1】求下列函数的周期：(1)y＝sin12x；(2)y＝|sinx|.[解](1)∵sin12x＋4π＝sin12x＋2π＝sin12x，∴sin12x的周期是4π.(2)作出y＝|sinx|的图像，如图．故周期为π.1．求正弦函数的周期时要注意结合图像判断，不要盲目套用结论．2．函数y＝sinx为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sinx，x∈[0,2π]是非奇非偶函数．-3-1．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xsinx；(2)f(x)＝|sinx|＋1.[解](1)∵x∈R，且关于原点对称，又f(－x)＝－xsin(－x)＝xsinx＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈R，且关于原点对称，又f(－x)＝|sin(－x)|＋1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．正弦函数的单调性及应用【例2】(1)比较下列各组数的大小：①sinπ4与sinπ8；②sin4π7与sin19π7.(2)求函数y＝log12sinx－π6的递增区间．[解](1)①因为0＜π8＜π4＜π2，且y＝sinx在x∈0，π2上为单调增函数，∴sinπ4＞sinπ8，②因为π2＜4π7＜5π7＜π，且y＝sinx在π2，π上是减少的．所以sin4π7＞sin5π7，即sin4π7＞sin19π7.(2)由sinx－π6＞0得2kπ＜x－π6＜π＋2kπ(k∈Z)得π6＋2kπ＜x＜7π6＋2kπ(k∈Z)，①要求原函数的递增区间，只需求函数y＝sinx－π6的递减区间，令π2＋2kπ≤x－π6≤3π2＋2kπ(k∈Z)得2π3＋2kπ≤x≤5π3＋2kπ(k∈Z)，②由①②可知2π3＋2kπ≤x＜76π＋2kπ(k∈Z)，所以原函数的递增区间为2π3＋2kπ，7π6＋2kπ(k∈Z)．-4-1．比较sinα与sinβ的大小时，可利用诱导公式，把sinα与sinβ转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较．2．比较sinα与cosβ的大小，常把cosβ转化为sinπ2±β后，再依据单调性进行比较．3．当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较．2．比较sin215π与sin42π5的大小．[解]∵sin21π5＝sin4π＋π5＝sinπ5，sin42π5＝sin8π＋2π5＝sin2π5.∵0π52π5π2.又y＝sinx在0，π2上单调递增，∴sinπ5sin2π5，即sin21π5sin42π5.与正弦函数有关的值域问题[探究问题]1．对于形如y＝f[g(x)]的函数，如何求其值域？[提示]先求内函数u＝g(x)的值域，再求外函数y＝f(u)的值域．2．对于y＝Asin2x＋Bsinx＋C型的函数，怎样求值域？[提示]利用换元法转化为二次函数求最值．【例3】求下列函数的值域．(1)y＝3－2sinx；(2)y＝－sin2x＋3sinx＋54.[思路探究](1)利用|sinx|≤1即可求解．(2)配方求解，要注意|sinx|≤1这一情况．[解](1)∵－1≤sinx≤1，∴－1≤－sinx≤1，1≤3－2sinx≤5，-5-∴函数y＝3－2sinx的值域为[1,5]．(2)令t＝sinx，则－1≤t≤1，y＝－t2＋3t＋54＝－t－322＋2，∴当t＝32时，ymax＝2.此时sinx＝32，即x＝2kπ＋π3或x＝2kπ＋2π3，k∈Z.当t＝－1时，ymin＝14－3.此时sinx＝－1，即x＝2kπ＋3π2，k∈Z.∴函数y＝－sin2x＋3sinx＋54的值域为14－3，2.1．(变条件)将例3(1)的条件变为“函数y＝1＋2sinx，x∈－π6，π6”求函数的最值．[解]∵－π6≤x≤π6，∴－12≤sinx≤12.∴0≤1＋2sinx≤2.即y＝1＋2sinx，x∈－π6，π6的最大值为2，最小值为0.2．(变条件)将例3(1)中的函数变为“y＝3＋asinx(a≠0)”试求函数的值域．[解]∵－1≤sinx≤1.(1)当a0时，－a≤asinx≤a，3－a≤3＋asinx≤3＋a.(2)当a0时，a≤asinx≤－a，3＋a≤3＋asinx≤3－a.综上，当a0时函数的值域为[3－a,3＋a]；当a0时，函数的值域为[3＋a,3－a]．求正弦函数的值域一般有以下两种方法：1将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝asinx＋b2＋c-6-型的值域问题.2利用sinx的有界性求值域，如y＝asinx＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b.1．求正弦函数在给定区间[a，b]上的值域时，要注意结合图像判断在[a，b]上的单调性及有界性．2．利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内．3．观察正弦曲线不难发现：(1)正弦曲线是中心对称图形，对称中心的坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线和x轴的交点，原点是其中的一个．(2)正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋π2(k∈Z)；正弦曲线的对称轴一定过正弦曲线的最高点或最低点.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数y＝sinx的定义域为R.()(2)正弦函数y＝sinx是单调增函数．()(3)正弦函数y＝sinx是周期函数．()(4)正弦函数y＝sinx的最大值为1，最小值为－1.()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．正弦函数y＝sinx，x∈R的图像上的一条对称轴是()A．y轴B．x轴C．直线x＝π2D．直线x＝πC[结合函数y＝sinx，x∈R的图像可知直线x＝π2是函数的一条对称轴．]3．函数f(x)＝sin2x＋1的奇偶性是________．偶函数[f(－x)＝[sin(－x)]2＋1＝sin2x＋1＝f(x)，所以f(x)为偶函数．]4．比较下列各组数的大小．(1)sin2016°和cos160°；(2)sin74和cos53.-7-[解](1)sin2016°＝sin(360°×5＋216°)＝sin216°＝sin(180°＋36°)＝－sin36°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵sin36°sin70°，∴－sin36°－sin70°，即sin2016°cos160°.(2)cos53＝sinπ2＋53，又π274π2＋533π2，y＝sinx在π2，3π2上是减少的，∴sin74sinπ2＋53＝cos53，即sin74cos53.