2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 6 6.1 余弦函数的图像 6.2 余弦函数的性质

-1-6.1余弦函数的图像6.2余弦函数的性质学习目标核心素养1.会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像．2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点)3.掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)1.利用诱导公式，通过平移得到余弦函数的图像，体会数学抽象素养．2.通过五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像，提升直观想象素养.1．余弦函数的图像(1)利用图像变换作余弦函数的图像因为y＝cosx＝sinx＋π2，所以余弦函数y＝cosx的图像可以通过将正弦曲线y＝sinx向左平移π2个单位长度得到．如图是余弦函数y＝cosx(x∈R)的图像，叫作余弦曲线．(2)利用五点法作余弦函数的图像画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数y＝cosx(x∈[0,2π])的图像上有五个关键点，为(0,1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1)，可利用此五点画出余弦函数y＝cosx，x∈R的简图(如图)．思考1：根据y＝sinx和y＝cosx的关系，你能利用y＝sinx，x∈R的图像得到y＝cosx，x∈R的图像吗？[提示]能，根据cosx＝sinx＋π2，只需把y＝sinx，x∈R的图像向左平移π2个单-2-位长度，即可得到y＝cosx，x∈R的图像．2．余弦函数的性质图像定义域R值域[－1,1]最大值，最小值当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1周期性周期函数，T＝2π单调性在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的奇偶性偶函数，图像关于y轴对称思考2：余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？[提示]观察图像(图略)可知：当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx的值由－1增大到1；当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是减函数，函数值由1减小到－1.1．用五点法作出函数y＝3－cosx的图像，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是()A．(π，－1)B．(0,2)C．π2，3D．3π2，3A[由五点作图法知五个关键点分别为(0,2)，π2，3，(π，4)，3π2，3，(2π，2)．]2．函数y＝－3cosx＋2的值域为()A．[－1,5]B．[－5,1]C．[－1,1]D．[－3,1]-3-A[因为－1≤cosx≤1，所以－1≤－3cosx＋2≤5.]3．已知函数f(x)＝sinx－π2(x∈R)，下面结论错误的是()A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间0，π2上是增函数C．函数f(x)的图像关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数D[f(x)＝sinx－π2＝－sinπ2－x＝－cosx，由f(x)＝cosx的性质可判断A、B、C均正确．]4．已知函数y＝－34cosx，x∈[0,2π]，则其递增区间为________．[0，π][当x∈[0,2π]时，函数y＝cosx在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，所以函数y＝－34cosx在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数．]余弦函数图像的画法【例1】画出函数y＝－cosx，x∈[0,2π]的简图．[解]法一：按五个关键点列表：x0π2π3π22πcosx10－101－cosx－1010－1描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如右图．法二：作函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图像，然后将其作关于x轴对称的图像，即得y＝－cosx，x∈[0,2π]的图像．-4-所谓的五点法是指特定的五个点，这五个点为图像的最高点、最低点或与图像的平衡位置的交点，切忌用其他的五点来代替.五点法是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法，其他方法都由此变化而来.函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图像上起关键作用的五个点坐标依次为：0，1，π2，0，π，－1，3π2，0，2π，1.1．作函数y＝12cosx－1，x∈[0,2π]的简图．[解]按五个关键点列表：x0π2π3π22πcosx10－10112cosx120－1201212cosx－1－12－1－32－1－12在坐标系内，根据五点0，－12、π2，－1、π，－32、3π2，－1、2π，－12画图，如图所示．余弦函数图像的应用【例2】已知y＝cosx(x∈R)，求：(1)y≥12时x的集合；(2)－12≤y≤32时x的集合．[解]用五点法作出y＝cosx的简图．(1)过0，12点作x轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于-5-－π3，12，π3，12点，在[－π，π]区间内，y≥12时，x的集合为x－π3≤x≤π3.当x∈R时，若y≥12，则x的集合为x－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ，k∈Z.(2)过0，－12，0，32点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于－2π3＋2kπ，－12，k∈Z，2π3＋2kπ，－12，k∈Z和－π6＋2kπ，32，k∈Z，π6＋2kπ，32，k∈Z，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－12≤y≤32时x的集合为：x－2π3＋2kπ≤x≤－π6＋2kπ或π6＋2kπ≤x≤2π3＋2kπ，}k∈Z.利用余弦曲线求解cosα≥a或cosα≤a|a|1的步骤：1作出余弦函数在一个周期内的图像选取的一个周期不一定是[0，2π]，应根据不等式来确定；2作直线y＝a与函数图像相交；3在一个周期内确定x的取值范围；4根据余弦函数周期性确定最终的范围.2．在同一坐标系中，画出函数y＝sinx与y＝cosx在[0,2π]上的简图，并根据图像写出sinx≥cosx在[0,2π]上的解集．[解]用五点法画出y＝sinx与y＝cosx的简图如下：由上图可得sinx≥cosx在[0,2π]上的解集为π4，5π4.余弦函数的单调性及应用【例3】(1)求函数y＝1－12cosx的单调区间；-6-(2)比较cos－π7与cos18π7的大小．[解](1)∵－120，∴y＝1－12cosx的单调性与y＝cosx的单调性相反．∵y＝cosx的单调增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．∴y＝1－12cosx的单调减区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，增区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．(2)cos18π7＝cos2π＋4π7＝cos4π7.cos－π7＝cosπ7.又0π74π7π，y＝cosx在x∈[0，π]为减函数，∴cos－π7cos18π7.1．形如y＝acosx＋b(a≠0)函数的单调区间：(1)当a0时，其单调性同y＝cosx的单调性一致；(2)当a0时，其单调性同y＝cosx的单调性恰好相反．2．比较cosα与cosβ的大小时，可利用诱导公式化为[0，π]内的余弦函数值来进行．3．(1)函数y＝1－2cosx的单调增区间是________；(2)比较大小cos263π________cos－133π.(1)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)(2)[(1)由于y＝cosx的单调减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，所以函数y＝1－2cosx的增区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．(2)由于cos263π＝cos8π＋2π3＝cos2π3，cos－13π3＝cos13π3＝cos4π＋π3＝cosπ3，y＝cosx在[0，π]上是减少的．-7-由π32π3知cosπ3cos2π3，即cos263πcos－13π3.]与余弦函数有关的最值问题[探究问题]1．余弦函数在第一象限内是减函数吗？[提示]不是．余弦函数y＝cosx在0，π2内是减函数，但不能说在第一象限是减函数．如390°和60°都是第一象限角，虽然有390°60°，却有cos60°cos390°.2．对于y＝Acos2x＋Bcosx＋C型的函数如何求其最值？[提示]利用换元法转化为在固定区间上的二次函数求其最值．【例4】求下列函数的最值．(1)y＝－cos2x＋cosx；(2)y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈π3，2π3.[思路探究]本题中的函数可以看作是关于cosx的二次函数，可以化归为利用二次函数求最值的方法求解．[解](1)y＝－cosx－122＋14.∵－1≤cosx≤1，∴当cosx＝12时，ymax＝14.当cosx＝－1时，ymin＝－2.∴函数y＝－cos2x＋cosx的最大值为14，最小值为－2.(2)y＝3cos2x－4cosx＋1＝3cosx－232－13.∵x∈π3，2π3，cosx∈－12，12，从而当cosx＝－12，即x＝2π3时，ymax＝154；当cosx＝12，即x＝π3时，ymin＝－14.∴函数在区间π3，2π3上的最大值为154，最小值为－14.-8-1．(变条件)若例4中的(1)变为“y＝2－cosx2＋cosx”，如何求函数的值域．[解]y＝4－2＋cosx2＋cosx＝42＋cosx－1.∵－1≤cosx≤1，∴1≤2＋cosx≤3，∴13≤12＋cosx≤1，∴43≤42＋cosx≤4，∴13≤42＋cosx－1≤3，即13≤y≤3.∴函数y＝2－cosx2＋cosx的值域为13，3.2．(变条件)将例4(2)变为“函数y＝－cos2x＋cosx＋1－π4≤x≤π4”，试求函数的值域．[解]设cosx＝t，∵－π4≤x≤π4，则t∈22，1，∴y＝－cos2x＋cosx＋1＝－t－122＋54，t∈22，1，∴当t＝22，即x＝±π4时，ymax＝1＋22，当t＝1，即x＝0时，ymin＝1，∴函数的值域为1，1＋22.求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：1sinx，cosx的有界性；2sinx，cosx的单调性；3化为sinx＝fx或cosx＝fx，利用|fx|≤1来确定；4通过换元转化为二次函数.1．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值，再利用单调性作出判断．2．求三角函数值域或最值的常用求法-9-(1)将y表示成以sinx(或cosx)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方，或利用函数的单调性等来确定y的范围．(2)将sinx或cosx用所求变量y来表示，如sinx＝f(y)，再由|sinx|≤1，构建关于y的不等式|f(y)|≤1，从而求得y的取值范围.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦函数y＝cosx的图像关于坐标原点对称．()(2)余弦函数y＝cosx的图像可由y＝sinx的图像向右平移π2个单位得到．()(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cosx与y＝sinx的图像形状完全相同，只是位置不同．()(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区间．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图