2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 9 三角函数的简单应用学案 北师大版必修4

-1-§9三角函数的简单应用学习目标核心素养1.能用三角函数研究简单的实际问题，尤其是周期性问题．(重点)2．将实际问题抽象为三角函数模型．(难点)1.通过用三角函数研究简单的实际问题，培养数学抽象素养．2．通过将实际问题抽象为三角函数模型，提升数学建模素养.三角函数模型的应用(1)三角函数模型的应用①根据实际问题的图像求出函数解析式．②将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．③利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型．(2)解答三角函数应用题的一般步骤思考：在函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0)中，A，b与函数的最值有何关系？[提示]A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下：(1)ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b；(2)A＝ymax－ymin2，b＝ymax＋ymin2.1．如图为某简谐运动的图像，这个简谐运动往返一次所需时间为()A．0.4sB．0.6sC．0.8sD．1.2s-2-C[由图像知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8s往返一次．]2．求下列函数的周期：(1)y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；(2)y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；(3)y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；[答案](1)2π|ω|(2)2π|ω|(3)π|ω|3．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．80[∵T＝2π160π＝180，∴f＝1T＝80.]4．如图是一弹簧振子做简谐振动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子的函数解析式是________．y＝2sin5π2t＋π4[不妨设所求解析式为y＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝2，2πω＝0.8，ω＝5π2，由于图像过点(0，2)，所以2sinφ＝2，结合图像可取φ＝π4，故y＝2sin5π2t＋π4.]已知解析式求周期、最值【例1】交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝2203·sin100πt＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．-3-[解](1)当t＝0时，E＝1103(V)．即开始时的电压为1103V.(2)T＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02s.(3)电压的最大值为2203V.当100πt＋π6＝π2，即t＝1300s时第一次取得最大值．由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键.1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s＝6sin2πt＋π6.(1)作出它的图像；(2)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？(3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？(4)单摆来回摆动一次需要多少时间？[解](1)单摆的周期T＝2π2π＝1，若令2πt＋π6＝0，即t＝－112，这时s＝0.找出曲线上的五个特殊点，列表如下：t－1122125128121112s＝6sin2πt＋π6060－60用光滑的曲线连接这些点，得函数s＝6sin2πt＋π6的图像(如图)．-4-(2)当t＝0时，s＝6sinπ6＝6×12＝3，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3cm.(3)s＝6sin2πt＋π6的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm.(4)s＝6sin2πt＋π6的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1s.已知模型求解析式【例2】如图所示，表示电流I(A)与时间t(s)的关系式：I＝Asin(ωt＋φ)(A0，ω0)在一个周期内的图像．根据图像写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式．[解]由图像可知A＝300，又T＝21150－－1300＝150，∴ω＝2πT＝100π.又∵t＝－1300时，ωt＋φ＝0，∴100π·－1300＋φ＝0，即φ＝π3，∴I＝300sin100πt＋π3.求解析式的难点在于求φ，可根据图像找出与正弦曲线对应点求得.2．如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0，|φ|π)．(1)求这段时间的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式．[解](1)由题图知，这段时间的最大温差是30－10＝20(℃)．-5-(2)题图中从6时到14时的图像是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图像．所以12×2πω＝14－6，解得ω＝π8，由图像知，A＝12(30－10)＝10，b＝12×(30＋10)＝20，所以y＝10sinπ8x＋φ＋20.因为x＝6时，y＝10，所以10＝10sinπ8×6＋φ＋20，所以sin3π4＋φ＝－1，可令3π4＋φ＝3π2，所以φ＝3π4.综上所述，所求解析式为y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]．三角函数的实际应用[探究问题]1．建立三角函数模型解决实际问题的思路是什么？[提示](1)先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切函数模型．(2)其次是搜集数据，建立三角函数解析式并解题．(3)最后将所得结果翻译成实际答案．2．如何建立拟合函数模型？[提示](1)利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”．(2)观察“散点图”，并进行数据拟合，获得具体的函数模型．(3)利用这个函数模型解决相应的实际问题，并进行检验．【例3】某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据：t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描出曲线，如图所示，经拟合，该曲线可近似地看做函数y＝Asinωt＋b的图像．(1)试根据以上数据，求函数解析式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m，那么该船何时能进入港口？在港口能待多久？-6-[思路探究](1)根据题意确定A，b，ω，φ.(2)根据题意水深y≥11.5可求解．[解](1)从拟合曲线可知，函数y＝Asinωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12h，因此2πω＝12，得ω＝π6.∵当t＝0时，y＝10，∴b＝10.∵ymax＝13，∴A＝13－10＝3.∴所求函数的解析式为y＝3sinπ6t＋10(0≤t≤24)．(2)由于船的吃水深度为7m，船底与海底的距离不少于4.5m，故在船舶航行时水深y应不小于7＋4.5＝11.5(m)．∴当y≥11.5时就可以进港．令y＝3sinπ6t＋10≥11.5，得sinπ6t≥12，∴π6＋2kπ≤π6t≤5π6＋2kπ(k∈Z)，∴1＋12k≤t≤5＋12k(k∈Z)．取k＝0，则1≤t≤5；取k＝1，则13≤t≤17；取k＝2，则25≤t≤29(不合题意)．因此，该船可以在凌晨1点进港，5点出港或在13点进港，17点出港，每次可以在港口停留4小时．若将例3中“某港口的水深y是时间t(0≤t≤24，单位h)的函数”变为“海浪高度y(米)是时间t(时)的函数(0≤t≤24)且浪高数据如下：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5若该函数图像可近似地看成函数y＝Acosωt＋b的图像．试求：(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？[解](1)由表中数据可知，T＝12，所以ω＝π6.-7-又t＝0时，y＝1.5，所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为12，函数解析式为y＝12cosπ6t＋1(0≤t≤24)．(2)因为y1时，才对冲浪爱好者开放，所以y＝12cosπ6t＋11，cosπ6t0，2kπ－π2π6t2kπ＋π2，即12k－3t12k＋3(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t3或9t15或21t≤24，所以在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9t15.根据给出的函数模型，利用表中的数据，找出变化规律，运用已学的知识与三角函数的知识，求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决.1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．2．三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．(3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝sinx在0，π2内是增函数．()(2)函数y＝3sinx－1的最大值为3.()(3)直线x＝π是函数y＝sinx的一条对称轴．()(4)函数y＝sin[π(x－1)]的最小正周期为2.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√-8-2．如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是()A．该质点的振动周期为0.7sB．该质点的振幅为5cmC．该质点在0.1s和0.5s时振动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时的加速度为零B[由图像可知，该质点的振动周期是2×(0.7－0.3)＝0.8，故A不正确；振幅为5cm，故选B.]3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sint2(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的()A．[0,5]B．[5,10]C．[10,15]D．[15,20]C[由2kπ－π2≤t2≤2kπ＋π2，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.]4．如图所示，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋bA0，ω0，||φπ2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．[解](1)由题图可知，一天最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)b＝30＋502＝40，A×1＋40＝50，∴A＝10，由图可知，T2＝14－8＝6，则T＝12，ω＝2πT＝π6，则y＝10sinπ6x＋φ＋40，代入(8,30)得φ＝π6，∴解析式为y＝10sinπ6x＋π6＋40，x∈[8,14]．-9-