2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 5 从力做的功到向量的数量积学案 北师大版必修4

-1-§5从力做的功到向量的数量积学习目标核心素养1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(重点)2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系．3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)1.通过学习平面向量数量积的含义及其物理意义，体会数学抽象素养．2.通过运用数量积的运算性质及运算律解决长度、夹角、平行、垂直的问题．提升数学运算素养.1．向量的夹角定义已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特例θ＝0°a与b同向θ＝180°a与b反向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥b，规定0可与任一向量垂直思考1：△ABC为正三角形，设AB→＝a，BC→＝b，则向量a与b的夹角是多少？[提示]如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则BD→＝a，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，故向量a与b的夹角为120°.2．向量的数量积(1)射影-2-|b|cosθ叫作向量b在a方向上的投影数量(简称为投影)．(2)数量积已知两个非零向量a与b，我们把|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．(3)规定零向量与任一向量的数量积为0.(4)几何意义a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cosθ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cosθ的乘积．(5)性质①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cosθ.②若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b⇔a·b＝0.③|a|＝a·a＝a2.④cosθ＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)．⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．(6)运算律已知向量a，b，c与实数λ，则：①交换律：a·b＝b·a；②结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.思考2：向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影相同吗？[提示]如图所示，OA→＝a，OB→＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cosθ.|b|cosθ叫作向量b在a方向上的射影，|a|cosθ叫作向量a在b方向上的射影．1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在b方向上的投影为()A．－4B．4C．－2D．2A[向量a在b方向上的投影为|a|cosθ＝a·b|b|＝－123＝－4，故选A.]-3-2．已知三角形ABC中，BA→·BC→0，则三角形ABC的形状为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形A[∵BA→·BC→＝|BA→|·|BC→|·cosB0，∴cosB0，又∵B为△ABC的内角．∴π2Bπ.]3．已知向量|a|＝2，|b|＝2，a·b＝1，则|a－b|＝()A．6B．2C．22D．3A[∵|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝4－2＋4＝6，∴|a－b|＝6.]4．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________.12[a·a＋a·b＝12＋1×1×cos120°＝12.]求向量的数量积【例1】已知|a|＝4，|b|＝5，且a与b的夹角为60°.求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a－b)2；(4)a2－b2.[解]由题知θ＝60°，|a|＝4，|b|＝5.(1)a·b＝|a||b|cosθ＝4×5×cos60°＝10.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2×10＋52＝61.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝42－20＋52＝21.(4)a2－b2＝|a|2－|b|2＝42－52＝－9.1．求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求出|a|和|b|；③利用数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ求解．要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．2．若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积．-4-1．已知|a|＝10，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°.求：(1)a·b；(2)a在b方向上的投影；(3)(a－2b)·(a＋b)；(4)(a－b)2.[解](1)a·b＝|a||b|cos120°＝10×4×－12＝－20.(2)a在b方向上的射影为|a|cos120°＝10×－12＝－5.(3)(a－2b)·(a＋b)＝a2＋a·b－2a·b－2b2＝a2－a·b－2b2＝|a|2－|a||b|cos120°－2|b|2＝100－10×4×－12－2×16＝88.(4)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos120°＋|b|2＝100－2×10×4×－12＋16＝100＋40＋16＝156.求向量的模【例2】(1)平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A.3B．23C．4D．12(2)已知同一平面上的向量a，b，c两两所成的角相等，并且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求|a＋b＋c|.(1)B[|a＋2b|＝a＋2b2＝a2＋4a·b＋4b2＝|a|2＋4|a||b|cos60°＋4|b|2＝4＋4×2×1×12＋4＝23.](2)解：①当向量a，b，c共线且同向时，所成的角均为0°，所以|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝6；②当向量a，b，c不共线时，易知a，b，c皆为非零向量．设a，b，c所成的角均为θ，则3θ＝360°，即θ＝120°，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1.-5-同理b·c＝－3，c·a＝－32，由|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝3，故|a＋b＋c|＝3.综上所述，|a＋b＋c|＝6或3.1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活运用a2＝|a|2，最后勿忘开方．2．一些常见等式应熟记：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．2．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61，求|a＋b|.[解]因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4a2＋2a·b－6a·b－3b2＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又因为|a|＝4，|b|＝3，所以4×42－4a·b－3×32＝61，所以a·b＝－6.|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝13.向量的夹角与垂直问题[探究问题]1．若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？[提示]a·b＝0⇔a⊥b.2．|a·b|与|a|·|b|的大小关系如何？为什么？[提示]|a·b|≤|a|·|b|.因为|a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|.由|cosθ|≤1，可得|a·b|≤|a|·|b|.3．对于向量a·b，如何求它们的夹角θ？[提示]求夹角θ时先求两个向量a，b夹角的余弦值．然后根据向量夹角的取值范围求角．-6-【例3】已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝2e1＋e2与b＝2e2－3e1的夹角θ.[思路探究]先求|a|，|b|及a·b，再由公式cosθ＝a·b|a||b|求解．[解]∵e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝cos60°＝12，∴a·b＝(2e1＋e2)·(2e2－3e1)＝－6e21＋e1·e2＋2e22＝－72.又∵a2＝(2e1＋e2)2＝4e21＋4e1·e2＋e22＝7，b2＝(2e2－3e1)2＝4e22－12e1·e2＋9e21＝7，∴|a|＝|b|＝7，则cosθ＝a·b|a||b|＝－727×7＝－12.∵0≤θ≤π，∴θ＝23π.1．将例3中的条件变为“|a|＝1，a·b＝12，(a－b)(a＋b)＝12”，试求a与b的夹角．[解]因为(a－b)·(a＋b)＝12，所以|a|2－|b|2＝12.又因为|a|＝1，所以|b|＝|a|2－12＝22，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a|·|b|＝121×22＝22.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4.2．将例3中的条件变为“a，b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|”，试证明：(a＋b)⊥(a－b)．[证明]∵|2a＋b|＝|a＋2b|，∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2.即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，∴a2＝b2.∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0，∴(a＋b)⊥(a－b)．-7-1．求向量a，b的夹角θ有两步：第一步，利用公式cosθ＝a·b|a||b|求cosθ；第二步，根据θ∈[0，π]确定θ.而求cosθ有两种情形，一种是求出a·b，|a|，|b|的值；另一种是得到a·b，|a|，|b|之间的关系分别代入公式计算．2．两向量垂直⇔a·b＝0，即把垂直关系转化为数量积的运算问题解决．1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．2．向量数量积的性质及作用：设a和b是非零向量，a与b的夹角为θ.(1)a⊥b⇔a·b＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.即当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|.此性质可用来证明向量共线．(3)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(4)cosθ＝a·b|a||b|，此性质可求a与b的夹角.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两向量的数量积仍是一个向量．()(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()(3)设a与b的夹角为θ，则cosθ0⇔a·b0.()(4)对于任意向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．设向量a·b＝40，|b|＝10，则a在b方向上的射影为()A．4B．43C．42D．8＋32A[a在b方向上的射影为|a|cosθ.由a·b＝|a|·|b|cosθ＝40且|b|＝10，得|a|cosθ＝4.]3．单位向量i，j相互垂直，向量a＝3i－4j，则|a|＝_____________.-8-5[因为|a|2＝a2＝(3i－4j)2＝9i2－24i·j＋16j2＝9＋16＝25，所以|a|＝5.]4．已知|a|＝1，|b|＝2，设a与b的夹角为θ.(1)若θ＝π3，求|a－b|；(2)若a与a＋b垂直，求θ.[解](1)∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cosπ3＋|b|2＝1－22×12＋2＝3－2，∴|a－b|＝3－2.(2)若a与a＋b垂直，则a·(a＋b)＝0，∴a2＋a·b＝0.∵a·b＝－|a|2＝－1，∴cosθ＝a·b|a||b|＝－11×2＝－22.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.