2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量章末复习课学案 北师大版必修4

-1-第2章平面向量平面向量的线性运算【例1】(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则2a－b的结果是()A．(7，－2)B．(1，－2)C．(1，－3)D．(7,2)(2)设D为△ABC所在平面内一点，则BD→＝3CD→，则()A.AD→＝－13AB→＋43AC→B.AD→＝43AB→－13AC→C.AD→＝32AB→－12AC→D.AD→＝－12AB→＋32AC→(1)A(2)D[(1)∵a＝(2,1)，b＝(－3,4)，∴2a－b＝2(2,1)－(－3,4)＝(4,2)－(－3,4)＝(4＋3,2－4)＝(7，－2)，故选A.(2)∵BD→＝3CD→，∴AD→－AB→＝3(AD→－AC→)，-2-∴2AD→＝3AC→－AB→，∴AD→＝32AC→－12AB→.]向量线性运算的基本原则和求解策略1基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.2求解策略：①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.②字符表示线性运算的常用技巧：,首尾相接用加法的三角形法则，如AB→＋BC→＝AC→；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如OB→－OA→＝AB→.③平行向量共线向量、相等向量与相反向量、单位向量等，理解向量的有关概念并进行恰当地应用.④注意常见结论的应用.如△ABC中，点D是BC的中点，则AB→＋AC→＝AD→.1．(1)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.(2)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝________；y＝________.(1)12(2)12－16[(1)因为λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，所以λ＝t，1＝2t，解得λ＝12，t＝12.(2)因为AM→＝2MC→，所以AM→＝23AC→.因为BN→＝NC→，所以AN→＝12(AB→＋AC→)，所以MN→＝AN→－AM→＝12(AB→＋AC→)－23AC→-3-＝12AB→－16AC→.又MN→＝xAB→＋yAC→，所以x＝12，y＝－16.]平面向量的数量积【例2】(1)设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝________.(2)已知两个单位向量a，b的夹角θ为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.(1)5(2)2[(1)因为单位向量m＝(x，y)，则x2＋y2＝1.①若m⊥b，则m·b＝0，即2x－y＝0.②由①②解得x2＝15，所以|x|＝55，|x＋2y|＝5|x|＝5.(2)法一：因为b·c＝0，所以b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0.又因为|a|＝|b|＝1，θ＝60°，所以12t＋1－t＝0，所以t＝2.法二：由t＋(1－t)＝1知向量a，b，c的终点A、B、C共线，在平面直角坐标系中设a＝(1,0)，b＝12，32，则c＝32，－32.把a、b、c的坐标代入c＝ta＋(1－t)b，得t＝2.]向量数量积的两种运算方法1当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.2当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝x1，y1，b＝x2，y2，则a·b＝x1x2＋y1y2.运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.-4-2．已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.－6[b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22＝3－2×1×1×12－8＝－6.]向量的夹角及垂直问题[探究问题]1．怎样求两个不共线向量的夹角？[提示]对两个不共线向量a，b，通过平移使它们的起点相同，这两个有公共起点的向量的夹角就是a与b的夹角．2．两向量所成的角与两直线所成角的区别是什么？[提示]两向量所成的角，不一定是两向量所在的直线所成的角，因为前者的取值范围为[0°，180°]，而后者的取值范围为[0°，90°]．这一点经常容易混淆，一定要注意．3．用数量积判断两向量夹角时应注意什么？[提示]当θ＝0°时，有a·b0，此时a与b共线且同向，即a·b0，不能说向量的夹角一定为锐角，同理当θ＝180°时，有a·b0，但a·b0，不能说向量的夹角一定为钝角．【例3】已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．[思路探究](1)利用AB→·AD→＝0即可；(2)利用夹角公式cosθ＝AC→·BD→|AC→|·|BD→|.]