2019-2020学年新教材高中数学 第2章 等式与不等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集学案

-1-2.1.1等式的性质与方程的解集学习目标核心素养1.理解且会运用等式的性质．(重点)2．理解恒等式的概念，会进行恒等变形．(难点)3．会求方程的解集．(重点)1.借助等式的性质，培养逻辑推理的素养．2．通过求方程的解集，提升数据分析、数学运算的核心素养.1．等式的性质性质：(1)：等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或代数式)，等式仍成立．用字母表示为：如果a＝b，则对任意的c，都有a±c＝b±c.性质(2)：等式的两边同时乘以(或除以)同一个数(或代数式)(除数或代数式不为0)，等式仍成立．用字母表示为：如果a＝b，则对任意的c，都有a×c＝b×c，a÷c＝b÷c(c≠0)．2．恒等式(1)一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．恒等式是进行代数变形的依据之一．(2)一个经常会用到的恒等式：对任意的x，a，b，都有(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab.(3)用“十字相乘法”分解因式：①直接利用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行分解；②利用公式acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)进行分解．3．方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．求方程解的过程叫做解方程．把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．1．下列运用等式性质进行的变形，正确的是()A．如果a＝b，那么a＋c＝b－cB．如果a2＝3a，那么a＝3C．如果a＝b，那么ac＝bcD．如果ac＝bc，那么a＝b-2-D[A.当a＝b时，a＋c＝b＋c，故A错误；B.当a＝0时，此时a≠3，故B错误；C.当c＝0时，此时ac与bc无意义，故C错误；故选D.]2．下列算式：(1)3a＋2b＝5ab；(2)5y2－2y2＝3；(3)7a＋a＝7a2；(4)4x2y－2xy2＝2xy中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个A[(1)(4)不是同类项，不能合并；(2)5y2－2y2＝3y2；(3)7a＋a＝8a.所以4个算式都错误．故选A.]3．已知A＝x3＋6x－9，B＝－x3－2x2＋4x－6，则2A－3B等于()A．－x3＋6x2B．5x3＋6x2C．x3－6xD．－5x3＋6x2B[依题意，可得2A－3B＝2(x3＋6x－9)－3(－x3－2x2＋4x－6)＝5x3＋6x2，故选B.]4．x2－4的因式分解的结果是()A．(x－2)2B．(x－2)(x＋2)C．(x＋2)2D．(x－4)(x＋4)B[x2－4＝(x＋2)(x－2)．故选B.]等式性质的应用【例1】已知x＝y,则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④xy＝1；⑤x－23＝y－23；⑥xa＝ya.其中正确的有()A．①②③B．④⑤⑥C．①③⑤D．②④⑥C[①x－3＝y－3；③－2x＝－2y；⑤x－23＝y－23正确，故选C.]在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的条件.1．设x，y，c是实数，下列正确的是()A．若x＝y，则x＋c＝y－c-3-B．若x＝y，则xc＝ycC．若x＝y，则xc＝ycD．若x2c＝y3c，则2x＝3yB[A.两边加不同的数，故A不符合题意；B．两边都乘以c，故B符合题意；C．c＝0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；D．两边乘6c，得到3x＝2y，故D不符合题意．故选B.]恒等式的化简【例2】化简：(1)(3a－2)－3(a－5)；(2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2；(3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)；(4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]．[解](1)(3a－2)－3(a－5)＝3a－2－3a＋15＝13.(2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2＝－x2y＋xy2.(3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)＝2m＋m＋n－2m－2n＝m－n.(4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]＝4a2b－5ab2＋(－6a2b＋8ab2)＝4a2b－5ab2－6a2b＋8ab2＝－2a2b＋3ab2.去括号时，首先要弄清楚括号前究竟是“＋”号，还是“－”号，其次要注意法则中的“都”字，都改变符号或都不改变符号，一定要一视同仁，尤其是括号前面是“－”号时，容易出现只改变括号内首项符号，而其余各项均不变号的错误.2．计算：(1)a2－3ab＋5－a2－3ab－7;(2)5(m＋n)－4(3m－2n)＋3(2m－3n)；(3)3(－5x＋y)－[(2x－4y)－2(3x＋5y)]．[解](1)原式＝(1－1)a2＋(－3－3)ab＋(5－7)＝－6ab－2.(2)原式＝5m＋5n－12m＋8n＋6m－9n＝(5－12＋6)m＋(5＋8－9)n＝－m＋4n.(3)原式＝－15x＋3y－(2x－4y－6x－10y)＝－15x＋3y－(－4x－14y)＝－15x＋3y＋4x-4-＋14y＝(－15＋4)x＋(3＋14)y＝－11x＋17y.【例3】十字相乘法分解因式：(1)x2－x－56；(2)x2－10x＋16.[解](1)因为所以：原式＝(x＋7)(x－8)．(2)因为所以：原式＝(x－2)(x－8)．常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号.二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.3．将y2－5y＋4因式分解的结果是()A．(y＋1)(y＋4)B．(y＋1)(y－4)C．(y－1)(y＋4)D．(y－1)(y－4)D[因式分解，可得y2－5y＋4＝(y－1)(y－4)，故选D.]方程的解集【例4】求下列方程的解集．(1)x(x＋2)＝2x＋4；(2)16(x－5)2－9(x＋4)2＝0.[解](1)原方程可变形为x(x＋2)＝2(x＋2)，即(x－2)(x＋2)＝0，从而x＋2＝0或x－2＝0，所以x＝－2或x＝2，方程的解集为{－2,2}．(2)利用平方差，将原方程变为[4(x－5)＋3(x＋4)][4(x－5)－3(x＋4)]＝0，整理可得(7x－8)(x－32)＝0，所以7x－8＝0或x－32＝0，所以x＝87或x＝32，故原方程的解集为87，32.-5-用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步骤1移项，将一元二次方程的右边化为0；2化积，利用提取公因式法、公式法等将一元二次方程的左边分解为两个一次因式的积；3转化，两个因式分别为0，转化为两个一元一次方程4求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解；5将其解写成集合的形式.4．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－52ax＋a2＝0的一个根，则a的值为()A．1或4B．－1或－4C．－1或4D．1或－4B[∵x＝－2是关于x的一元二次方程x2－52ax＋a2＝0的一个根，∴4＋5a＋a2＝0，∴(a＋1)(a＋4)＝0,解得a＝－1或a＝－4.]1．利用等式性质进行化简要注意是否恒等变形，化简要彻底，要注意符号的变换．2．十字相乘法分解因式的步骤：移项→化积→转化→求解．3．方程的解集要写成集合的形式．1．若3a＝2b，下列各式进行的变形中，不正确的是()A．3a＋1＝2b＋1B．3a－1＝2b－1C．9a＝4bD．－a2＝－b3C[A.∵3a＝2b，∴3a＋1＝2b＋1，正确，不合题意；B．∵3a＝2b，∴3a－1＝2b－1，正确，不合题意；C．∵3a＝2b，∴9a＝6b，故此选项错误，符合题意；D．∵3a＝2b，∴－a2＝－b3，正确，不合题意．故选C.]2．(m＋n)－2(m－n)的计算结果是()A．3n＋2mB．3n＋mC．3n－mD．3n＋2mC[原式＝m＋n－2m＋2n＝－m＋3n，故选C.]3．下列方程的解正确的是()-6-A．x－3＝1的解集是{－2}B.12x－2x＝6的解集是{－4}C．3x－4＝52(x－3)的解集是{3}D．－13x＝2的解集是－32B[方程x－3＝1的解是x＝4，12x－2x＝6的解是x＝－4,3x－4＝52(x－3)的解是x＝－7，－13x＝2的解是x＝－6，故选B.]4．方程2x－1＝0的解集是________．12[由2x－1＝0，解得x＝12，方程的解集是12.]