2019-2020学年新教材高中数学 第2章 等式与不等式 2.2.4 均值不等式及其应用（第1课时

-1-第1课时均值不等式学习目标核心素养1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件．(难点)2．会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小．(重点)1.通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养．2．通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算的素养.1．算术平均值与几何平均值对于正数a，b，常把a＋b2叫做a，b的算术平均值，把ab叫做a，b的几何平均值．2．均值不等式(1)当a＞0，b＞0时，有a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立；(2)均值不等式的常见变形①当a＞0，b＞0，则a＋b≥2ab；②若a＞0，b＞0，则ab≤a＋b22.1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是()A．a＝±1B．a＝1C．a＝－1D．a＝0B[当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时“＝”成立．]2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是()A．a2＋b2B．2abC．2abD．a＋bD[∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b，∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(a≠b)，∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.又∵a＋b＞2ab(a≠b)，∴a＋b最大．]3．已知ab＝1，a0，b0，则a＋b的最小值为()-2-A．1B．2C．4D．8B[∵a0，b0，∴a＋b≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.]4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．①a＋b2≥ab；②a－b≥2ab；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.③[根据a2＋b22≥ab，a＋b2≥ab成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]对均值不等式的理解【例1】给出下面三个推导过程：①∵a，b为正实数，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2；②∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a·a＝4；③∵x，y∈R，xy＜0，∴xy＋yx＝－－xy＋－yx≤－2－xy－yx＝－2.其中正确的推导为()A．①②B．①③C．②③D．①②③B[①∵a，b为正实数，∴ba，ab为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确．②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，∴4a＋a≥24a·a＝4是错误的．③由xy＜0，得xy，yx均为负数，但在推导过程中将整体xy＋yx提出负号后，－xy，－yx均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]1．均值不等式ab≤a＋b2(a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a，b都是正数．-3-(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，ab≤a＋b2的等号成立，即a＝b⇒a＋b2＝ab；仅当a＝b时，a＋b2≥ab的等号成立，即a＋b2＝ab⇒a＝b.1．下列不等式的推导过程正确的是________．①若x＞1，则x＋1x≥2x·1x＝2；②若x＜0，则x＋4x＝－－x＋－4x≤－2－x·－4x＝－4；③若a，b∈R，则ba＋ab≥2ba·ab＝2.②[①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x＝1x时，即x＝1时，x＋1x≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋1x＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．]利用均值不等式比较大小【例2】(1)已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是()A．a＋b≥2abB.ba＋ab≥2C.a2＋b2ab≥2abD.2aba＋b≥ab(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．(1)D(2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac[(1)由a＋b2≥ab得a＋b＝2ab，∴A成立；∵ba＋ab≥2ba·ab＝2，∴B成立；∵a2＋b2ab≥2abab＝2ab，∴C成立；∵2aba＋b≤2ab2ab＝ab，∴D不一定成立．(2)∵a，b，c互不相等，-4-∴a2＋b2＞2ab，b2＋c22bc，a2＋c22ac.∴2(a2＋b2＋c2)2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2ab＋bc＋ac.]1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2ab成立的条件是a0，b0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.2．如果0＜a＜b＜1，P＝a＋b2，Q＝ab，M＝a＋b，那么P，Q，M的大小顺序是()A．P＞Q＞MB．M＞P＞QC．Q＞M＞PD．M＞Q＞PB[显然a＋b2＞ab，又因为a＋b2＜a＋b由a＋b＞a＋b24也就是a＋b4＜1可得，所以a＋b＞a＋b2＞ab.故M＞P＞Q.]利用均值不等式证明不等式【例3】已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c9.[思路点拨]看到1a＋1b＋1c9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．[证明]∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2ba·ab＋2ca·ac＋2cb·bc＝3＋2＋2＋2＝9.-5-当且仅当a＝b＝c时取等号，∴1a＋1b＋1c9.本例条件不变，求证：1a－11b－11c－18.[证明]∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴1a－1＝b＋ca0，1b－1＝a＋cb0，1c－1＝a＋bc0，∴1a－11b－11c－1＝b＋ca·a＋cb·a＋bc≥2bc·2ac·2ababc＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴1a－11b－11c－1＞8.1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.[证明]由均值不等式可得a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.4．已知a＞1，b＞0，1a＋3b＝1，求证：a＋2b≥26＋7.-6-[证明]由1a＋3b＝1，得b＝3aa－1(a＞1)，则a＋2b＝a＋6aa－1＝a＋6a－1＋6a－1＝a＋6a－1＋6＝(a－1)＋6a－1＋7≥26＋7，当且仅当a－1＝6a－1时，即a＝1＋6时，取等号．1．应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a0，b0时，才会有ab≤a＋b2.对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，a＋b2＝ab；另一方面：当a＋b2＝ab时，也有a＝b.2．应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构.1．思考辨析(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立．()(2)若a≠0，则a＋1a≥2a·1a＝2.()(3)若a0，b0，则ab≤a＋b22.()[提示](1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2ab成立．(2)只有当a0时，根据均值不等式，才有不等式a＋1a≥2a·1a＝2成立．(3)因为ab≤a＋b2，所以ab≤a＋b22.[答案](1)×(2)×(3)√2．设ab0，则下列不等式中一定成立的是()-7-A．a－b0B．0ab1C.aba＋b2D．aba＋bC[∵ab0，由均值不等式知aba＋b2一定成立．]3．不等式9x－2＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是()A．x＝3B．x＝－3C．x＝5D．x＝－5C[由均值不等式知等号成立的条件为9x－2＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．]4．设a0，b0，证明：b2a＋a2b≥a＋b.[证明]∵a0，b0，∴b2a＋a≥2b，a2b＋b≥2a，∴b2a＋a2b≥a＋b.