2019-2020学年高中数学 第2章 基本初等函数（Ⅰ）阶段复习课学案 新人教A版必修1

-1-第2章基本初等函数（Ⅰ）指数与对数的运算【例1】计算：(1)2log32－log3329＋log38－5log53；(2)1.5－13×－760＋80.25×42＋(32×3)6[解](1)原式＝log322×8329－3＝2－3＝－1.(2)原式＝2313＋234×214＋22×33－2313＝21＋4×27＝110.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，-2-换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．1.设3x＝4y＝36，则2x＋1y的值为()A．6B．3C．2D．1D[由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436，∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.]基本初等函数的图象及应用【例2】(1)若函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是()ABCD(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝12x.①如图，画出函数f(x)的图象；②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．(1)B[由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x0时，y0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符．故选B.](2)[解]①先作出当x≥0时，f(x)＝12x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再-3-作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]．1．识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性：函数图象的变化趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(3)特殊点对应的函数值．2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.2．函数y＝1＋log12(x－1)的图象一定经过点()A．(1，1)B．(1，0)C．(2，1)D．(2，0)C[把y＝log12x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y＝1＋log12(x－1)的图象，故其经过点(2，1)．]比较大小【例3】若0xy1，则()A．3y3xB．logx3logy3C．log4xlog4yD．14x14yC[因为0xy1，则对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x3y，A错误．对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0a1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0xy1，所以logx3logy3，B错误．-4-对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4xlog4y，C正确．对于D，函数y＝14x在R上单调递减，故14x14y，D错误．]1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．4．含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论．3.设a＝log2π，b＝log12π，c＝π－2，则()A．abcB．bacC．acbD．cbaC[∵a＝log2πlog22＝1，b＝log12πlog121＝0，c＝π－2＝1π2，即0c1，∴acb，故选C.]基本初等函数的性质【例4】(1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0，1)上是增函数B．奇函数，且在(0，1)上是减函数C．偶函数，且在(0，1)上是增函数D．偶函数，且在(0，1)上是减函数(2)已知a0，a≠1且loga3loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1.①求a的值；②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－logax＋2的值域．(1)A[由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln1＋x1－x＝ln21－x－1，易知y＝21－x－1在(0，1)上为增函数，故f(x)在(0，1)上为增函数．]-5-(2)[解]①因为loga3loga2，所以f(x)＝logax在[a，3a]上为增函数．又f(x)在[a，3a]上的最大值与最小值之差为1，所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.②函数y＝(log3x)2－log3x＋2＝(log3x)2－12log3x＋2＝log3x－142＋3116.令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.所以y＝t－142＋3116∈3116，52，所以所求函数的值域为3116，52.1．把本例(1)的函数f(x)改为“f(x)＝ln(x＋1＋x2)”，判断其奇偶性．[解]∵f(x)＝ln(x＋1＋x2)，∴其定义域为R，又f(－x)＝ln(－x＋1＋x2)，∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋1＋x2)＋ln(－x＋1＋x2)＝ln1＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．2．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．[解]由题意可知y＝32x＋3x－1，令3x＝t，则t∈[3，27]，∴f(t)＝t2＋t－1＝t＋122－54，t∈[3，27]，∴当t＝3时，f(t)min＝f(3)＝9＋3－1＝11.1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u的取值范围．分类讨论思想的应用【例5】已知函数f(x)＝log3(ax－1)，a0且a≠1.(1)求该函数的定义域；(2)若该函数的图象经过点M(2，1)，讨论f(x)的单调性并证明．思路点拨：(1)分a1和0a1两类分别解不等式ax－10；(2)借助单调性的定义求证．-6-[解](1)要使函数f(x)有意义，只需ax－10，即ax1.①当a1时，解得x0，②当0a1时，解得x0，故当a1时，函数的定义域为(0，＋∞)；当0a1时，函数的定义域为(－∞，0)．(2)由f(2)＝1得，log3(a2－1)＝1，∴a2＝4，即a＝2.故函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．设x2x10，则2x22x11，即2x2－12x1－10，∴2x2－12x1－11，∴log32x2－12x1－1log31＝0，即f(x2)－f(x1)0.∴f(x2)f(x1)，故f(x)在(0，＋∞)上是增函数．在解决底数中含字母参数的指数或对数函数问题时，常对底数进行分类讨论，一般分a1与0a1两种情况．4.已知函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．[解]①若a1，则f(x)是增函数，∴f(x)在[1，2]上的最大值为f(2)，最小值为f(1)，∴f(2)－f(1)＝a2，即a2－a＝a2，解得a＝32.②若0a1，则f(x)是减函数，∴f(x)在[1，2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)，∴f(1)－f(2)＝a2，即a－a2＝a2，-7-解得a＝12.综上所述，a＝12或a＝32.