2019-2020学年高中数学 第3章 推理与证明 1 1.1 归纳推理学案 北师大版选修1-2

-1-1.1归纳推理学习目标核心素养1.了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点)1.通过归纳推理概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过归纳推理的应用的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？[提示]不一定正确．因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性．1．下列关于归纳推理的说法错误的是()①归纳推理是由一般到一般的推理过程；②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．A．①②B．②③C．①③D．③④A[归纳推理是由特殊到一般的推理，故①②不正确，易知③④均正确，故选A.]2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A．至多等于3B．至多等于4C．等于5D．大于5B[n＝2时，可以；n＝3时，为正三角形，可以；n＝4时，为正四面体，可以；n＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．]3．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，……的子集个数归纳出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集个数为________．-2-2n[集合{a1}有两个子集∅和{a1}，集合{a1，a2}的子集有∅，{a1}，{a2}，{a1，a2}共4个子集，集合{a1，a2，a3}有8个子集，由此可归纳出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集个数为2n个．]数式中的归纳推理【例1】(1)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，……，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199(2)已知f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为______________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________．思路点拨：(1)记an＋bn＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论．(2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果．(1)C(2)f3(x)＝x1－4xfn(x)＝x1－2n－1x[(1)记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.(2)f1(x)＝f(x)＝x1－x，f2(x)＝f1(f1(x))＝x1－x1－x1－x＝x1－2x，f3(x)＝f2(f2(x))＝x1－2x1－2·x1－2x＝x1－4x，由f1(x)，f2(x)，f3(x)的表达式，归纳fn(x)＝x1－2n－1x.]-3-已知等式或不等式进行归纳推理的方法1．要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．2．要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．3．提炼出等式(或不等式)的综合特点．4．运用归纳推理得出一般结论．1．经计算发现下列不等式：2＋18210，4.5＋15.5210，3＋2＋17－2210，……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________.当a＋b＝20时，有a＋b210，a，b∈R＋[从上面几个不等式可知，左边被开方数的和均为20，故可以归纳为a＋b＝20时，a＋b210.]数列中的归纳推理【例2】(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－1an＋1，则a2019等于()A．2B．－12C．－2D．1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n个三角形数的石子个数．思路点拨：(1)写出数列的前几项，再利用数列的周期性解答．(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n的对应关系，进而归纳出第n个三角形数．(1)C[a1＝1，a2＝－12，a3＝－2，a4＝1，…，数列{an}是周期为3的数列，2019＝673×3，∴a2019＝a3＝－2.](2)[解]法一：由1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，-4-10＝1＋2＋3＋4，可归纳出第n个三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.法二：观察项数与对应项的关系特点如下：项数1234对应项1×222×323×424×52分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积．归纳：第n个三角形数的石子数应为nn＋12.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前几项和公式．2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)．(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式an.[解](1)当n＝1时，知a1＝1，由an＋1＝2an＋1，得a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31.(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N＋)．几何图形中的归纳推理[探究问题]1．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，-5-每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值．[提示]观察图形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20.2．上述问题中，试用n表示出f(n)的表达式．[提示]由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n－1)＋nn＋12.将以上(n－1)个式子相加可得f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋nn＋12＝12[(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]＝1216nn＋12n＋1＋nn＋12＝nn＋1n＋26.【例3】有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26B．31C．32D．36思路探究：解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论．B[法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.]-6-在题干不变的条件下，第6个图案中周围的边有多少条？[解]各个图形周围的边的条数如下表：图案123…边条数182634…由表可知，周围边的条数依次组成一个以18为首项，8为公差的等差数列，解得第6个图形周围的边的条数为18＋8×(6－1)＝58条．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：3．根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．509[分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想．图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.]-7-1．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(1)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过理论证明或实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(2)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真．(3)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2．归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．1．判断正误(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．()(2)由个别到一般的推理称为归纳推理．()(3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的．()[答案](1)√(2)√(3)×2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2D．8n＋2C[a1＝8，a2＝14，a3＝20，猜想an＝6n＋2.]3．已知12＝16×1×2×3,12＋22＝16×2×3×5,12＋22＋32＝16×3×4×7,12＋22＋34＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n2＝________.(其中n∈N*)．16n(n＋1)(2n＋1)[根据题意归纳出12＋22＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)，下面给出证明：(k＋1)3－k3＝3k2＋3k＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，……，(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，累加得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n，整理得-8-12＋22＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)．]4．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2，(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2，(202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2.请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论．[解]结论为：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.证明：(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－(a2c2＋b2d2＋2abcd)＝a2d2＋b2c2－2abcd＝(ad－bc)2≥0.所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.