2019-2020学年高中数学 第1章 常用逻辑用语 4 4.3 逻辑联结词“非”学案 北师大版选修

-1-4.3逻辑联结词“非”学习目标：1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“p”命题．(重点、难点)2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用．(重点)3.理解命题的否定与否命题的区别．(易混点)“非”(1)定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作p，读作非p．(2)命题p的真假判定pp真假假真思考：在日常生活中“非”的含义是什么？从集合角度如何理解？[提示]“非”的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来的，即与之相反的意思．从集合角度理解“非”即集合运算“补”．设命题p：x∈A(A⊆U)，则p⇔xA⇔x∈(∁UA)．1.判断正误(1)命题p是真命题，则p可能是真命题．()(2)“x＞0”的否定是“x0”.()(3)命题“若A，则B”的否定为“若A，则B”.()[答案](1)×(2)×(3)√2．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“p”形式的命题是()A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根C[命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．]3．若p是真命题，q是假命题，则()A．p且q是真命题B．p或q是假命题-2-C．p是真命题D．q是真命题D[根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确．]4．已知命题p：6＋7＝13，则该命题的否定是p：________，其为________命题．(填“真”或“假”)[答案]6＋7≠13假命题的否定[探究问题]1．已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定，并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别？[提示]命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；命题p的否定：平行四边形的对角线不相等．“否命题”与命题的“否定”的区别：对命题的否定(即非p)只是否定命题的结论，而否命题(“若p则q”形式的命题)既否定条件又否定结论．否命题与原命题的真假无必然联系，而命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假．2．“p或q”、“p且q”的否定是什么？[提示]“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”．【例1】写出下列命题的否定形式．(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.[思路探究](1)“都是”的否定“不都是”；(2)“全”的否定“不全是”；(3)“或”的否定“且”.[解](1)面积相等的三角形不都是全等三角形．(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写p的关键，如“都”的否定是“不都”“至多两个”的反面是“至少三个”“p且q”的否定是“p或q”等．(变结论)写出本例命题的否命题-3-[解](1)面积不相等的三角形不都是全等三角形．(2)若m2＋n2≠0，则实数m，n不全为零．(3)若xy≠0，则x≠0且y≠0.1．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：y＝sinx是周期函数；(2)p：3＜2；(3)p：空集是集合A的子集；(4)p：5不是75的约数．[解](1)p：y＝sinx不是周期函数．命题p是真命题，p是假命题；(2)p：3≥2.命题p是假命题，p是真命题；(3)p：空集不是集合A的子集．命题p是真命题，p是假命题；(4)p：5是75的约数．命题p是假命题，p是真命题．含有逻辑联结词的命题的真假判断【例2】(1)已知命题p：若xy，则－x－y：命题q：若xy，则x2y2.在命题①p且q；②p或q；③p且(q)；④(p)或q中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④(2)已知命题p：对任意x∈R，总有2x0；q：“x1”是“x2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是()A．p且qB．p且qC．p且qD．p且q(1)C(2)D[(1)由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p且q为假命题，②p或q为真命题，③q为真命题，则p且(q)为真命题，④p为假命题，则(p)或q为假命题，所以选C.(2)依题意，命题p是真命题．由x2⇒x1，而x1x2，因此“x1”是“x2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则q是真命题，p且q是真命题，选D.]判断含逻辑联结词的命题真假的步骤1．逐一判断命题p，q的真假；2．根据“且”“或”“非”的含义判断“p且q”“p或q”“非p”的真假；3．“p且q”为真⇔p和q同时为真；“p或q”为真⇔p和q中至少有一个为真；“非p”-4-为真⇔p为假．2．指出下列命题的真假．(1)命题：“不等式|x＋2|≤0没有实数解”；(2)命题：“－1是偶数或奇数”；(3)命题：“2属于集合Q，也属于集合R”；(4)命题：“A(A∪B)”．[解](1)此命题为“非p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解．因为x＝－2是该不等式的一个解，所以命题p是真命题，即“非p”为假命题，所以原命题为假命题．(2)此命题为“p或q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数．因为命题p为假命题，q为真命题，所以“p或q”为真命题，故原命题为真命题．(3)此命题为“p且q”的形式，其中p：2∈Q，q：2∈R.因为p为假命题，q为真命题，所以p且q为假命题，故原命题为假命题．(4)此命题为“非p”的形式，其中p：A⊆(A∪B)，因为p为真命题，所以“非p”为假命题，故原命题为假命题．命题的否定的应用【例3】已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋10的解集为R，若“p或q”与“q”同时为真命题，求实数a的取值范围．[解]命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于Δ＝4a2－4≥0，x1＋x2－2，（x1＋1）（x2＋1）0⇔a2－1≥0，－2a－22－2a0，，解得a≤－1.命题q：关于x的不等式ax2－ax＋10的解集为R，等价于a＝0或a0，Δ0.由于a0，Δ0⇔a0，a2－4a0，解得0a4，所以0≤a4.因为“p或q”与“q”同时为真命题，即p真且q假，所以a≤－1，a0或a≥4，解得a≤－1.故实数a的取值范围是(－∞，－1]．-5-由真值表可判断p或q、p且q、p命题的真假，反之，由p或q，p且q，p命题的真假也可判断p、q的真假情况．一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．3．已知命题p：1－x－13≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0(m0)，若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围．[解]p：1－x－13≤2，∴4－x3≤2，∴－2≤x≤10；q：x2－2x＋1－m2≤0(m0)，∴[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m0)，∴1－m≤x≤1＋m(m0)．∵p是q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∴1－m≥－2，1＋m≤10，∴m≤3.∴m的取值范围是(0，3].1．对于p：x∈A∩B，则p()A．x∈A且xBB．xA或x∈BC．xA或xBD．x∈A∪BC[p等价于x∈A且x∈B，所以p为xA或xB.]2．若命题“p”与命题“p或q”都是真命题，那么()A．命题p与命题q的真假相同B．命题p一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题q一定是真命题D[由于p是真命题，所以p是假命题，由于命题p或q一真则真，所以命题q一定是真命题，故选D.]3．命题p：“相似三角形的面积相等”，则p为________，否命题为________．相似三角形的面积不相等若三角形不相似，则它们的面积不相等[p只否定命题的-6-结论，而否命题则是命题的条件、结论都否定．]4．已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若p是假命题，则a的取值范围是________．(－∞，－3][∵p为假，则p为真，即函数在(－∞，4]上为减函数，∴－(a－1)≥4，即a≤－3，∴a的取值范围是(－∞，－3]．]5．写出下列各命题的否定及否命题，并判断它们的真假．(1)若x，y都是奇数，则x＋y是偶数；(2)若一个数是质数，则这个数一定是奇数．[解]命题的否定为：(1)若x，y都是奇数，则x＋y不是偶数．为假命题．(2)若一个数是质数，则这个数不一定是奇数．为真命题．否命题为：(1)若x，y不都是奇数，则x＋y不是偶数．为假命题．(2)若一个数不是质数，则这个数不一定是奇数．为真命题．