2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 5.1 二项式定理学案 北师大版选修2-3

-1-5.1二项式定理学习目标核心素养1.能用计数原理证明二项式定理．(难点)2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(难点)通过对二项式定理的学习，培养“逻辑推理”、“数学运算”的数学素养.二项式定理二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N＋)叫作二项式定理二项展开式公式右边的式子叫作(a＋b)n的二项展开式二项式系数各项的系数Crn(r＝0,1,2，…，n)叫作二项式系数二项展开式的通项式中Crnan－rbr叫作二项展开式的通项在二项式定理中，若a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝1＋C1nx＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋xn.思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？[提示]二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C0n，C1n，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．思考2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？[提示]不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为Cknan－kbk，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为Cknbn－kak.1．(x＋1)n的展开式共有11项，则n等于()A．9B．10C．11D．12B[由二项式定理的公式特征可知n＝10.]2．(y－2x)8展开式中的第6项的二项式系数为()A．C68B．C58(－2)5C．C58D．C68(－2)6C[由题意可知：Tk＋1＝Ck8y8－k(－2x)k＝Ck8·(－2)kxky8－k，当k＝5时，二项式系数为C58.]3.x2－2x35展开式中的常数项为()A．80B．－80C．40D．－40-2-C[由题意可知：Tr＋1＝Cr5(x2)5－r－2x3r＝(－2)rCr5x10－5r，令10－5r＝0，得r＝2，即展开式中的常数项为(－2)2C25＝40.]4．(x－2y)7的展开式中的第4项为()A．－280x4y3B．280x4y3C．－35x4y3D．35x4y3A[(x－2y)7的展开式中的第4项为T4＝C37x4(－2y)3＝(－2)3C37x4y3＝－280x4y3.]二项式定理的正用和逆用【例1】(1)求3x＋1x4的展开式；(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．[解](1)法一：3x＋1x4＝C04(3x)4＋C14(3x)3·1x＋C24(3x)2·1x2＋C34(3x)·1x3＋C44·1x4＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.法二：3x＋1x4＝3x＋14x2＝1x2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.(2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x－1)＋C55(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.二项式定理的双向功能1正用：将二项式a＋bn展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开.2逆用：将展开式合并成二项式a＋bn的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项-3-系数的规律.1．1－2C1n＋4C2n－8C3n＋16C4n＋…＋(－2)nCnn的值为()A．1B．－1C．(－1)nD．3nC[1－2C1n＋4C2n－8C3n＋16C4n＋…＋(－2)nCnn＝[1＋(－2)]n＝(1－2)n＝(－1)n.]2．求x2＋1x2－23的展开式．[解]x2＋1x2－23＝x－1x6＝1x6(x2－1)6＝1x6[C06(x2)6－C16(x2)5＋C26(x2)4－C36(x2)3＋C46(x2)2－C56x2＋C66]＝1x6(x12－6x10＋15x8－20x6＋15x4－6x2＋1)＝x6－6x4＋15x2－20＋15x2－6x4＋1x6.二项式系数与项的系数【例2】已知二项式3x－23x10.(1)求展开式第4项的二项式系数；(2)求展开式第4项的系数；(3)求第4项．[解]3x－23x10的展开式的通项是Tk＋1＝Ck10(3x)10－k－23xk＝Ck10310－k－23k·x10－3k2(k＝0,1,2，…，10)．(1)展开式的第4项(k＝3)的二项式系数为C310＝120.(2)展开式的第4项的系数为C31037－233＝－77760.(3)展开式的第4项为T4＝T3＋1＝－77760x.区分二项式系数与某一项系数1二项式系数都是组合数Cknk∈{0，1，2，…，n}，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.-4-2第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为Ckn.例如，在1＋2x7的展开式中，第四项是T4＝C3717－32x3，其二项式系数是C37＝35，而第四项的系数是C3723＝280.3．已知x－2xn展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n的值；(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．[解](1)因为T3＝C2n(x)n－2－2x2＝4C2nxn－62，T2＝C1n(x)n－1－2x＝－2C1nxn－32，依题意得4C2n＋2C1n＝162，所以2C2n＋C1n＝81，所以n2＝81，n∈N＋，故n＝9.(2)设第k＋1项含x3项，则Tk＋1＝Ck9(x)9－k－2xk＝(－2)kCk9x9－3k2，所以9－3k2＝3，k＝1，所以第二项为含x3的项为T2＝－2C19x3＝－18x3.二项式系数为C19＝9.求展开式中的特定项[探究问题]1．如何求x＋1x4展开式中的常数项．[提示]利用二项展开式的通项Cr4x4－r·1xr＝Cr4x4－2r求解，令4－2r＝0，则r＝2，所以x＋1x4展开式中的常数项为C24＝4×32＝6.2．(a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？[提示](a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项而得到．3．如何求x＋1x(2x＋1)3展开式中含x的项？-5-[提示]x＋1x(2x＋1)3展开式中含x的项是由x＋1x中的x与1x分别与(2x＋1)3展开式中常数项C33＝1及x2项C1322x2＝12x2分别相乘再把积相加得x·C33＋1x·C13(2x)2＝x＋12x＝13x.即x＋1x(2x＋1)3展开式中含x的项为13x.【例3】已知在(3x－33x)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.思路探究：写出通项Tr＋1→令r＝5，x的指数为零→1求出n值→修正通项公式→2求x2项的系数→考察x指数为整数→分析求出k值→3写出有理项[解]通项公式为Tr＋1＝Crnxn－r3(－3)rx－r3＝Crn(－3)rxn－2r3.(1)∵第6项为常数项，∴r＝5时，有n－2r3＝0，即n＝10.(2)令10－2r3＝2，得r＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C210(－3)2＝405.(3)由题意得，10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z.令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k.∵r∈Z，∴k应为偶数，k＝2,0，－2，即r＝2,5,8，-6-所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C210(－3)2x2，C510(－3)5，C810(－3)8x－2.即405x2，－61236,295245x－2.求二项展开式的特定项的常用方法1对于常数项，隐含条件是字母的指数为0即0次项；2对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；3对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.4．(1)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．(2)若x－ax26展开式的常数项为60，则常数a的值为________．(1)207(2)4[(1)x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果，∴其系数为C510＋C210(－1)＝207.(2)x－ax26的展开式的通项是Tk＋1＝Ck6x6－k·(－a)kx－2k＝Ck6x6－3k(－a)k，令6－3k＝0，得k＝2，即当k＝2时，Tk＋1为常数项，即常数项是C26a，根据已知得C26a＝60，解得a＝4.]1．注意区分项的二项式系数与系数的概念．2．要牢记Cknan－kbk是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项．3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值.1.化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1得()A．x4B．(x－1)4C．(x＋1)4D．x5A[原式＝(x－1＋1)4＝x4.]2．已知x－1x7的展开式的第4项等于5，则x等于()-7-A．17B．－17C．7D．－7B[T4＝C37x4－1x3＝5，∴x＝－17.]3.x2－1xn的展开式中，常数项为15，则n的值为()A．3B．4C．5D．6D[展开式的通项为Tk＋1＝Ckn(x2)n－k·(－1)k·1xk＝(－1)kCknx2n－3k.令2n－3k＝0，得n＝32k(n，k∈N＋)，若k＝2，则n＝3不符合题意，若k＝4，则n＝6，此时(－1)4·C46＝15，所以n＝6.]4．在ax6＋bx4的二项展开式中，如果x3的系数为20，那么ab3＝________.5[Tr＋1＝Cr4a4－rbrx24－7r，令24－7r＝3，得r＝3，则4ab3＝20，∴ab3＝5.]5．求x3＋23x25的展开式的第三项的系数和常数项．[解]T3＝C25(x3)323x22＝C25·49x5，所以第三项的系数为C25·49＝409.通项Tk＋1＝Ck5(x3)5－k23x2k＝23k·Ck5x15－5k，令15－5k＝0，得k＝3，所以常数项为T4＝C35(x3)2·23x23＝8027.