2019-2020学年高中数学 第1章 坐标系 1 1.1 平面直角坐标系与曲线方程 1.2 平面直

-1-1.1平面直角坐标系与曲线方程1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换学习目标：1.理解平面直角坐标系的作用．(重点)2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．(重点)3.了解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示．(易混点)教材整理1平面直角坐标系与点的坐标在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的有序实数对(x，y)与之对应；反之，对于任意的一个有序实数对(x，y)，都有唯一的点与之对应．即在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在平面直角坐标系中，x轴上点的纵坐标都是0.()(2)在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的．()(3)坐标(3,0)和(0,3)表示同一个点．()[解析](1)√(2)√(3)×因为(3,0)在x轴上，而(0,3)在y轴上．[答案](1)√(2)√(3)×教材整理2平面直角坐标系中曲线与方程的关系曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．那么，方程f(x，y)＝0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)＝0的曲线．填空：(1)x轴的直线方程为________．(2)以原点为圆心，以1为半径的圆的方程为____________．(3)方程2x2＋y2＝1表示的曲线是____________．[答案](1)y＝0(2)x2＋y2＝1(3)椭圆教材整理3平面直角坐标轴中的伸缩变换-2-在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的12，圆x2＋y2＝4的图形变为椭圆．()(2)平移变换既不改变形状，也不改变位置．()(3)在伸缩变换下，直线依然是直线．()[解析](1)√因为x2＋y2＝4的圆的形状变为方程x24＋y2＝1表示的椭圆．(2)×平移变换只改变位置，不改变形状．(3)√直线在平移和伸缩下依然为直线，但方程发生了变化．[答案](1)√(2)×(3)√-3-利用平面直角坐标系确定位置【例1】由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米．某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？[精彩点拨]本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A，B，C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解．[尝试解答]设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,23)．∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上．kBC＝－3，线段BC的中点D(－4，3)，∴直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)．①又|PB|－|PA|＝4，∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x24－y25＝1(x≥2)．②联立①②，解得P点坐标为(8,53)．∴kPA＝538－3＝3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1．由于A，B，C的相对位置一定，解决问题的关键是如何建系，将几何位置量化，根据-4-直线与双曲线方程求解．2．运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题．1.已知某荒漠上有两个定点A，B，它们相距2km，现准备在荒漠上开垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条水沟l恰好经过点A，且与AB成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长？[解](1)设平行四边形的另两个顶点为C，D，由围墙总长为8km，得|CA|＋|CB|＝4|AB|＝2，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A，B为焦点，长轴长2a＝4，焦距2c＝2的椭圆(去除落在直线AB上的两点)．以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)．易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD的面积最大，则C，D为此椭圆短轴的端点，此时，面积S＝23(km2)．(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x24＋y23＝1(y≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l：y＝33(x＋1)被椭圆截得的弦长，如图．因此，由y＝33x＋1，x24＋y23＝1⇒13x2＋8x－32＝0，那么弦长＝1＋k2|x1－x2|＝1＋332·－8132－4×－3213＝4813，故暂不加固的部分长4813km.-5-平面直角坐标系中曲线方程的确定【例2】(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G的方程；(2)在边长为2的正△ABC中，若P为△ABC内一点，且|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，求点P的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线．[精彩点拨]本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等．解答此题中(1)需要根据已知条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线．[尝试解答](1)由已知设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则2a＝12，知a＝6.又离心率e＝ca＝32，故c＝33.∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.∴椭圆的标准方程为x236＋y29＝1.(2)以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设P(x，y)是轨迹上任意一点，又|BC|＝2，∴B(－1,0)，C(1,0)，则A(0，3)．∵|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，∴x2＋(y－3)2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2，化简得x2＋(x＋3)2＝4.又∵P在△ABC内，∴y0.∴P点的轨迹方程为x2＋(y＋3)2＝4(y0)．其曲线如图所示为以(0，－3)为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆弧．-6-求动点轨迹方程常用的方法有：(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：①建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；②写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}；③用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0；④化简方程f(x，y)＝0；⑤检验或证明④中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则⑤可以省略．(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．(3)代入法(相关点法)：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求．2．如图，四边形MNPQ是圆C的内接等腰梯形，向量CM→与PN→的夹角为120°，QC→·QM→＝2.(1)求圆C的方程；(2)求以M，N为焦点，过点P，Q的椭圆方程．[解](1)建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，△CQM为正三角形．∴·QM→＝r2·cos60°＝2，∴圆C的半径为2.又圆心为(0,0)，∴圆C的方程为：x2＋y2＝4.(2)由(1)知M(2,0)，N(－2,0)，Q(1，3)，-7-∴2a＝|QN|＋|QM|＝23＋2，∴a＝3＋1，c＝2，∴b2＝a2－c2＝23，∴椭圆方程为：x24＋23＋y223＝1.平面直角坐标系中的伸缩变换[探究问题]1．在平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，直线变为什么图形？圆、椭圆、双曲线和抛物线呢？[提示]在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线．2．平移变换与伸缩变换的区别是什么？[提示]平移变换区别于伸缩变换的地方就是：图形经过平移后只改变了位置，不会改变它的形状．3．在伸缩变换中，若x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍后，变换后的坐标(x′，y′)与原坐标(x，y)有什么关系？[提示]一般地，在平面直角坐标系xOy中：使x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍(k0)，则当k＝1时，x轴与y轴具有相同的单位长度；即为x′＝x，y′＝y的伸缩变换，当k1时，相当于x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的1k，即为x′＝x，y′＝1ky的伸缩变换，当0k1时，相当于y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的k倍，即为x′＝kx，y′＝y的伸缩变换．【例3】在下列平面直角坐标系中，分别作出x225＋y29＝1的图形：(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的12倍．[精彩点拨]先按要求改变x轴或y轴的单位长度，建立平面直角坐标系，再在新坐标系中作出图形．-8-[尝试解答](1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，则x225＋y29＝1的图形如图①.(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的12，则x225＋y29＝1的图形如图②.(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的12，则x225＋y29＝1的图形如图③.在平面直角坐标系中，改变x轴或y轴的单位长度会对图形产生影响，本题2中即为的伸缩变换，本题3中即为的伸缩变换.3．本例中，x225＋y29＝1不变，试在下列平面直角坐标系中，分别作出其图形：(1)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的53倍；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的35倍．[解](1)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的35，则x225＋y29＝1的图形如图①.-9-(2)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的35，则x225＋y29＝1的图形如图②.1．曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是()A．(0,0)B.15，15C．(1,5)D．(4,4)[解析]将答案代入验证知D正确．[答案]D2．直角坐标系中到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()A．|x|－|y|＝1B．|x－y|＝1C．||x|－|y||＝1D．|x±y|＝1[解析]由题知C正确．[答案]C3．已知一椭圆的方程为x216＋y24＝1，如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为()-10-[解析]如果y轴上单位长度不变，x轴的单位长度变为原来的12倍，则方程变为x2＋y2＝4，故选B.[答案]B4．将圆x2＋y2＝1经过伸缩变换x′＝4x，y′＝3y后的曲线方程为________．[解析]由x′＝4x，y′＝3y，得x＝x′4，y＝y′3.代入到x2＋y2＝1，得x′216＋y′29＝1.∴变换后的曲线方程为x216＋y29＝1.[答案]x216＋y29＝15．已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．求动点M的轨迹C的方程．[解]