2019-2020学年高中数学 第1章 推理与证明 4 数学归纳法学案 北师大版选修2-2

-1-§4数学归纳法学习目标核心素养1．了解数学归纳法的思想实质，掌握数学归纳法的两个步骤．(重点)2．体会数学归纳法原理，并能应用数学归纳法证明简单的问题．(重点、难点)1．通过对数学归纳法步骤的理解，提升逻辑推理的核心素养.2．通过应用数学归纳法证明数学问题，培养逻辑推理和数学运算的核心素养.1．数学归纳法的基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是：(1)验证：当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时，命题成立；(2)在假设当n＝k(n∈N＋，k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立．2．应用数学归纳法注意的问题(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤(2)的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立”为条件．1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝n＋3n＋42(n∈N＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是()A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4D[当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D.]2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于()A．一切正整数命题成立B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立D．以上都不对B[本题证的是对n＝1,3,5,7…时命题成立，即命题对一切正奇数成立．]3．用数学归纳法证明不等式“1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n1324(n∈N＋，n≥2)”的过程中，由-2-n＝k(k∈N＋，k≥2)推导到n＝k＋1时，不等式左边增加的式子是________．12k＋1＋12k＋2－1k＋1[当n＝k时，左边＝1k＋1＋1k＋2＋…＋1k＋k，当n＝k＋1时，左边＝1k＋2＋1k＋3＋…＋1k＋1＋k－1＋1k＋1＋k＋1k＋1＋k＋1，故左边增加的式子是12k＋1＋12k＋2－1k＋1.]用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.思路探究：验证n＝1时等式成立→假设n＝k时等式成立→证明n＝k＋1时等式成立→结论[证明](1)当n＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，等式成立．(2)假设n＝k(k≥1)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，则当n＝k＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋1k＋1－12k＋2＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝右边．∴n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)知等式对任意正整数n都成立．数学归纳法证题的三个关键点1．验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1．-3-2．递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．3．利用假设是核心在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．1．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n2n＋2＝n4n＋1(n∈N＋)．[证明](1)当n＝1时，左边＝12×4＝18，右边＝18，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＝k4k＋1成立，当n＝k＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＋12k＋22k＋4＝k4k＋1＋14k＋1k＋2＝kk＋2＋14k＋1k＋2＝k＋124k＋1k＋2＝k＋14k＋2＝k＋14[k＋1＋1]，所以n＝k＋1时，等式成立，综上可得，等式对于任意n∈N＋都成立.用数学归纳法证明不等式【例2】(1)用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n1324(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是__________．(2)证明：不等式1＋12＋13＋…＋1n2n(n∈N＋)．思路探究：(1)写出当n＝k时左边的式子，和当n＝k＋1时左边的式子，比较即可．(2)在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度．12k＋12k＋2[(1)当n＝k＋1时左边的代数式是1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋12k＋2，增-4-加了两项12k＋1与12k＋2，但是少了一项1k＋1，故不等式的左边增加的式子是12k＋1＋12k＋2－1k＋1＝12k＋12k＋2.](2)[证明]①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边右边，不等式成立．②假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k2k.则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋12k＋1k＋1＝2kk＋1＋1k＋1k2＋k＋12＋1k＋1＝2k＋1k＋1＝2k＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n∈N＋都成立．本例(2)中把“2n”改为“n(n1且n∈N＋)”，能给予证明吗？[证明]①当n＝2时，左边＝1＋12＝2＋22，右边＝2，∴左边右边，所以不等式成立．②假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1kk.那么n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1k＋1k＋1＝k2＋k＋1k＋1k2＋1k＋1＝k＋1.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②可知，原不等式对任意n∈N＋且n1都成立．数学归纳法证明第二步时的注意点用数学归纳法证明不等式，推导n＝k＋1也成立时，证明不等式的常用方法，如比较法、-5-分析法、综合法均可灵活运用．在证明过程中，常常要在“凑”出归纳假设的前提下，根据剩余部分的结构特点及n＝k＋1时命题的需要进行放缩．2．若n∈N＋，且n1，求证：1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n1324.[证明](1)当n＝2时，左边＝12＋1＋12＋2＝712＝14241324，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥2)时不等式成立，即1k＋1＋1k＋2＋…＋1k＋k2324，那么当n＝k＋1时，1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋1k＋1＋k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋1k＋k＋12k＋1＋12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋1k＋k＋12k＋1＋12k＋2－1k＋11324＋12k＋12k＋21324.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．根据(1)、(2)可知，对任意大于1的正整数不等式都成立.归纳——猜想证明【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝Snn2n－1且a1＝13.(1)求a2，a3；(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明．思路探究：(1)令n＝2,3可分别求a2，a3.(2)根据a1，a2，a3的值，找出规律，猜想an，再用数学归纳法证明．[解](1)a2＝S222×2－1＝a1＋a26，a1＝13，则a2＝115，类似地求得a3＝135.(2)由a1＝11×3，a2＝13×5，a3＝15×7，…，猜想：an＝12n－12n＋1.证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立；-6-②假设当n＝k时猜想成立，即ak＝12k－12k＋1，那么，当n＝k＋1时，由题设an＝Snn2n－1，得ak＝Skk2k－1，ak＋1＝Sk＋1k＋12k＋1，所以Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)12k－12k＋1＝k2k＋1，Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－k2k＋1.因此，k(2k＋3)ak＋1＝k2k＋1，所以ak＋1＝12k＋12k＋3＝1[2k＋1－1][2k＋1＋1].这就证明了当n＝k＋1时命题成立．由①②可知命题对任何n∈N＋都成立．证明“归纳—猜想—证明”的一般环节和主要题型1．“归纳—猜想—证明”的一般环节2．“归纳—猜想—证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．(3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．3．数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明．[解]由a1＝2－a1，得a1＝1；-7-由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝32；由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，得a3＝74；由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝158.猜想an＝2n－12n－1.下面证明猜想正确：(1)当n＝1时，由上面的计算可知猜想成立．(2)假设当n＝k时猜想成立，则有ak＝2k－12k－1，当n＝k＋1时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1，∴ak＋1＝12[2(k＋1)－Sk]＝k＋1－122k－2k－12k－1＝2k＋1－12k＋1－1，所以，当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，an＝2n－12n－1对任意正整数n都成立.用数学归纳法证明整除性问题[探究问题]1．数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?[提示]不一定，如证明n边形的内角和为(n－2)·180°时，第一个值为n0＝3.2．数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？[提示]第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了．【例4】用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋)．思路探究：在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑．[证明](1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时结论成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．-8-因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立．由(1)(2)知命题对一切n∈N＋都成立．证明整除性问题的关键与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将n＝k＋1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来．4．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________．(k3＋5k)＋3k(