您好,欢迎访问三七文档
-1-2.1导数的概念2.2导数的几何意义学习目标核心素养1.理解导数的概念及导数的几何意义.(重、难点)2.会求导数及理解导数的实际意义.(重点)3.掌握利用导数求切线方程的方法.(难点)1.通过导数几何意义的学习,培养了学生直观想象的核心素养.2.通过求函数的导数的学习,提升了学生数学运算的核心素养.3.通过导数实际意义的学习,培养了学生数学抽象的核心素养.1.函数f(x)在x=x0处的导数函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率称为函数y=f(x)在x0点的导数,通常用符号f′(x0)表示,记作f′(x0)=limx1→x0fx1-fx0x1-x0=limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx.2.导数的几何意义函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.1.设函数y=f(x)可导,则limΔx→0f1+Δx-f1Δx等于()A.f′(1)B.3f′(1)C.13f′(1)D.以上都不对A[由f(x)在x=1处的导数的定义知,应选A.]2.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x-y+1=0,则()A.f′(x0)>0B.f′(x0)<0C.f′(x0)=0D.f′(x0)不存在A[由切线方程可以看出其斜率是2,又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数.]3.抛物线y=x2+4在点(-2,8)处的切线方程为__________.4x+y=0[因为y′=limΔx→0x+Δx2+4-x2+4Δx-2-=limΔx→0(2x+Δx)=2x,所以k=-4,故所求切线方程为4x+y=0.]求函数在某点处的导数【例1】(1)若limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx=k,则limΔx→0fx0+2Δx-fx0Δx等于()A.2kB.kC.12kD.以上都不是(2)函数y=x在x=1处的导数是________.(3)求函数f(x)=2x2+4x在x=3处的导数.思路探究:根据导数的概念求解.(1)A(2)12[(1)limΔx→0fx0+2Δx-fx0Δx=2limΔx→0fx0+2Δx-fx02Δx=2limΔx→0fx0+2Δx-fx02Δx=2k.(2)∵Δy=1+Δx-1,∴ΔyΔx=1+Δx-1Δx=11+Δx+1,当Δx趋于0时,ΔyΔx=11+Δx+1趋于12,∴函数y=x在x=1处的导数为12.](3)[解]∵f(x)=2x2+4x,∴Δy=f(3+Δx)-f(3)=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3)=12Δx+2(Δx)2+4Δx=2(Δx)2+16Δx.∴ΔyΔx=2Δx2+16ΔxΔx=2Δx+16.-3-当Δx趋于0时,ΔyΔx=16,∴f′(3)=16.1.本题(2)中用到了分子有理化的技巧,主要目的是使整个式子的趋近值容易求出.切忌算到1+Δx-1Δx时,就下结论:当Δx趋于0时,分子分母的值都趋于0,所以整个式子的值不确定.2.计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤(1)计算Δy;(2)计算ΔyΔx;(3)计算limΔx→0ΔyΔx.1.若f(x)=x3,f′(x0)=3,则x0的值是()A.1B.-1C.±1D.33C[∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3-x30=3x20Δx+3x0(Δx)2+(Δx)3,∴ΔyΔx=3x20+3x0Δx+(Δx)2,∴f′(x0)=limΔx→0[3x20+3x0Δx+(Δx)2]=3x20,由f′(x0)=3,得3x20=3,∴x0=±1.]求曲线在某点处切线的方程【例2】已知曲线C:f(x)=13x3+43.(1)求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程;(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?思路探究:(1)先求切点坐标,再求f′(2),最后利用导数的几何意义写出切线方程.(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解.[解](1)将x=2代入曲线C的方程得f(2)=4,∴切点P(2,4).f′(2)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0132+Δx3+43-13×23-43Δx=limΔx→0[4+2Δx+13(Δx)2]=4.∴k=f′(2)=4.-4-∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)由y=4x-4,y=13x3+43,可得(x-2)(x2+2x-8)=0,解得x1=2,x2=-4.从而求得公共点为P(2,4)或M(-4,-20),即切线与曲线C的公共点除了切点外,还有另一公共点(-4,-20).1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0);(2)写出切线方程,即y-y0=f′(x0)·(x-x0).特别注意:若在点(x0,y0)处切线的倾斜角为π2,此时所求的切线平行于y轴,所以直线的切线方程为x=x0.2.曲线的切线与曲线的交点可能不止一个.2.求曲线f(x)=x2+1在点A(1,2)处的切线方程.[解]在曲线f(x)=x2+1上的点A(1,2)的附近取一点B,设B点的横坐标为1+Δx,则点B的纵坐标为(1+Δx)2+1,所以函数的增量Δy=(1+Δx)2+1-2=(Δx)2+2Δx,所以切线AB的斜率kAB=ΔyΔx=Δx+2,∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(Δx+2)=2,这表明曲线f(x)=x2+1在点A(1,2)处的切线斜率k=2.∴所求切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.求曲线过某点的切线方程[探究问题]1.函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系?[提示]区别:函数在某点处的导数是一个定值,导函数是一个函数.联系:函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x=x0时的函数值.2.曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?[提示]不一定.切线只是一个局部概念,是该点处的割线的极限位置,在其他地方可能还有一个或多个公共点.-5-3.曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程与过某点(x0,y0)的曲线的切线方程有何不同?[提示]曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求出k=f′(x0),利用点斜式写出切线即可;而求过某点(x0,y0)的曲线f(x)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点.【例3】已知曲线f(x)=1x.(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程;(2)求满足斜率为-13的曲线的切线方程.思路探究:(1)点A不在曲线上,设切点坐标,写出切线方程,把A(1,0)代入求出切点坐标,进而求出切线方程.(2)设出切点坐标,由该点斜率为-13,求出切点,进而求出切线方程.[解](1)limΔx→0ΔyΔx=limΔx→01x+Δx-1xΔx=-1x2.设过点A(1,0)的切线的切点为Px0,1x0,则f′(x0)=-1x20,即该切线的斜率为k=-1x20.因为点A(1,0),Px0,1x0在切线上,所以1x0-0x0-1=-1x20,解得x0=12.故切线的斜率k=-4.故曲线过点A(1,0)的切线方程为y=-4(x-1),即4x+y-4=0.(2)设斜率为-13的切线的切点为Qa,1a,由(1)知,k=f′(a)=-1a2=-13,得a=±3.所以切点坐标为3,33或-3,-33.故满足斜率为-13的曲线的切线方程为-6-y-33=-13(x-3)或y+33=-13(x+3),即x+3y-23=0或x+3y+23=0.1.求曲线过已知点的切线方程的步骤2.若已知切线的斜率,则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标,根据点斜式写出切线方程.3.求曲线y=f(x)=x2+1过点P(1,0)的切线方程.[解]设切点为Q(a,a2+1),fa+Δx-faΔx=a+Δx2+1-a2+1Δx=2a+Δx,当Δx趋于0时,(2a+Δx)趋于2a,所以所求切线的斜率为2a.因此,a2+1-0a-1=2a,解得a=1±2,所求的切线方程为y=(2+22)x-(2+22)或y=(2-22)x-(2-22).1.导数与函数图象的关系在x=x0附近各切线的斜率反映切线的升降变化情况,导数f′(x0)反映函数在x=x0附近的增减情况,而在x=x0处的切线斜率k=f′(x0),所以反映在图形上它们的变化情况是一致的,如图.曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表:曲线f(x)在x=x0附近切线的斜率k切线的倾斜角f′(x0)0上升k0锐角-7-f′(x0)0下降k0钝角f′(x0)=0k=0零角(切线与x轴平行)2.求曲线在某点的切线方程(1)若曲线y=f(x)在点P(x0,y0)的切线的斜率存在,则斜率k=f′(x0),切线方程为y-y0=f′(x0)·(x-x0).(2)若曲线y=f(x)在点P(x0,y0)的切线的斜率不存在,则切线方程为x=x0,此时f′(x0)也不存在.1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数.()(2)函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x=x0处的函数值.()(3)函数f(x)=0没有导数.()(4)直线与曲线相切,则直线与该曲线只有一个公共点.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×2.如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f′(4)=()A.12B.3C.4D.5A[由于kl=5-34-0=12,∴f′(4)=12]3.已知二次函数y=f(x)的图像如图所示,则y=f(x)在A,B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为:f′(a)________f′(b)(填“<”“=”或“>”).>[f′(a)与f′(b)分别表示函数图像在点A,B处的切线斜率,由图像可得f′(a)>f′(b).]4.已知直线y=4x+a和曲线y=x3-2x2+3相切,求切点坐标及a的值.[解]设直线l与曲线相切于点P(x0,y0),则-8-limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0x+Δx3-2x+Δx2+3-x3-2x2+3Δx=3x2-4x.由导数的几何意义,得k=f′(x0)=3x20-4x0=4,解得x0=-23或x0=2,∴切点坐标为-23,4927或(2,3).当切点为-23,4927时,有4927=4×-23+a,∴a=12127.当切点为(2,3)时,有3=4×2+a,∴a=-5.因此切点坐标为-23,4927或(2,3),a的值为12127或-5.
本文标题:2019-2020学年高中数学 第2章 变化率与导数 2 2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义
链接地址:https://www.777doc.com/doc-8476077 .html