2019-2020学年高中数学 第4章 定积分 2 微积分基本定理学案 北师大版选修2-2

-1-§2微积分基本定理学习目标核心素养1．了解微积分基本定理的含义．(难点)2．会利用微积分基本定理求函数的定积分．(重点)1．借助图形理解定积分与曲边梯形的关系，提升了学生的直观想象的核心素养.2．利用微积分基本定理求定积分的学习，培养了学生数学运算的核心素养.1．微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有abf(x)dx＝F(b)－F(a)．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则abf(x)dx＝S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则abf(x)dx＝－S下．(2)(3)(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则abf(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则abf(x)dx＝0.1．下列定积分的值等于1的是()-2-A.01xdxB.01(x＋1)dxC.011dxD.0112dxC[选项A，因为x22′＝x，所以01xdx＝x2210＝12；选项B，因为x22＋x′＝x＋1，所以01(x＋1)dx＝x22＋x10＝32；选项C，因为x′＝1，所以011dx＝x10＝1；选项D，因为12x′＝12，所以0112dx＝12x10＝12.]2．02π(－sinx)dx等于()A．0B．2C．－2D．4A[02π(－sinx)dx＝cosx|2π0＝cos2π－cos0＝0.]3．12x＋1xdx＝________.ln2＋32[根据题意得12x＋1xdx＝lnx＋12x221＝ln2＋2－0＋12＝ln2＋32.]利用微积分基本定理求定积分【例1】计算下列定积分．(1)12(x2＋2x＋3)dx；(2)－π0(cosx－ex)dx；(3)122x2＋x＋1xdx；(4)0π2sin2x2dx.思路探究：(1)、(2)先求被积函数的一个原函数F(x)，然后利用微积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基本定理求解．-3-[解](1)12(x2＋2x＋3)dx＝12x2dx＋122xdx＋123dx＝x3321＋x221＋3x21＝253.(2)－π0(cosx－ex)dx＝－π0cosxdx－－π0exdx＝sinx0－π－ex0－π＝1eπ－1．(3)2x2＋x＋1x＝2x＋1＋1x，而(x2＋x＋lnx)′＝2x＋1＋1x.∴122x2＋x＋1xdx＝(x2＋x＋lnx)21＝4＋ln2．(4)原式＝0π212(1－cosx)dx＝120π2(1－cosx)dx＝120π21dx－120π2cosxdx＝x2π20－sinx2π20＝π－24.求简单的定积分应注意两点：1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．12x－1x2dx＝________.ln2－12[12x－1x2dx＝121x－1x2dx＝lnx＋1x|21＝ln2＋12－(ln1＋1)＝ln2－12.]-4-求分段函数的定积分【例2】计算下列定积分．(1)f(x)＝sinx，0≤xπ2，1，π2≤x≤2，x－1，2x≤4，求04f(x)dx；(2)02|x2－1|dx.思路探究：(1)按f(x)的分段标准，分成0，π2，π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．[解](1)04f(x)dx＝0π2sinxdx＋π221dx＋24(x－1)dx＝(－cosx)π20＋x2π2＋12x2－x42＝1＋2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)02|x2－1|dx＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx＝x－13x310＋13x3－x21＝2．分段函数的积分问题1．本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号，可先求函数f(x)的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．2．计算定积分：-33(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.[解]设f(x)＝|2x＋3|＋|3－2x|，x∈[－3,3]，-5-则f(x)＝－4x，－3≤x－32，6，－32≤x≤32，4x，32x≤3.所以-33(|2x＋3|＋|3－2x|)dx利用定积分求参数[探究问题]1．满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一吗？[提示]不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值．2．如何求对称区间上的定积分？[提示]在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．【例3】(1)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若01fxdx＝f(x0)，0≤x0≤1，求x0的值；(2)已知f(x)是一次函数，其图像过点(3,4)，且01fxdx＝1，求f(x)的解析式．思路探究：(1)先利用微积分基本定理求出定积分01fxdx，然后列出关于x0的方程，求出x0的值．(2)设出f(x)的解析式，再根据已知条件列方程组求解．[解](1)∵f(x)＝ax2＋c(a≠0)，且a3x3＋cx′＝ax2＋c，∴01f(x)dx＝01(ax2＋c)dx＝a3x3＋cx10＝a3＋c＝ax20＋c，解得x0＝33或x0＝－33(舍去)．(2)依题意设一次函数f(x)的解析式为-6-f(x)＝kx＋b(k≠0)．∵函数图像过点(3,4)，∴3k＋b＝4.①∵01f(x)dx＝01(kx＋b)dx＝k2x2＋bx|10＝k2＋b，∴k2＋b＝1．②由①②得，k＝65，b＝25，∴f(x)＝65x＋25.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念．3．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)且f(1)＝4，f′(1)＝1，01f(x)dx＝316，求函数f(x)的解析式．[解]由题意知f(1)＝a＋b＋c＝4，①f′(1)＝2a＋b＝1，②又由01f(x)dx＝01(ax2＋bx＋c)dx＝316，知a3＋b2＋c＝316.③①②③联立，解得a＝－1，b＝3，c＝2，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝－x2＋3x＋2．1．定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积．(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．2．定积分计算时常用的几个结论-7-(1)abf(x)dx＝－baf(x)dx.(2)abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx(acb)，该结论称为定积分对积分区间的可加性，积分区间的可加性也可以推广：abf(x)dx＝ax1f(x)dx＋x1x2f(x)dx＋…＋xnbf(x)dx，其中ax1…xnb.(3)若在区间[a，b]上，f(x)≥0，则abf(x)dx≥0.推论1：若在区间[a，b]上，f(x)≤g(x)，则abf(x)dx≤abg(x)dx.推论2：|abf(x)dx|≤ab|f(x)|dx.(4)若函数f(x)为偶函数，则不含常数项的原函数F(x)为奇函数，-aaf(x)dx＝F(x)|a－a＝F(a)－F(－a)＝2F(a)；(5)若函数f(x)为奇函数，则不含常数项的原函数F(x)为偶函数，-aaf(x)dx＝F(x)|a－a＝F(a)－F(－a)＝0.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．()(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.()(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．()[答案](1)√(2)√(3)√2．-π2π2(sinx＋cosx)dx的值是()A．0B.π4C．2D．4-8-3．已知2≤12(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为______．23，2[12(kx＋1)dx＝12kx2＋x21＝(2k＋2)－12k＋1＝32k＋1，所以2≤32k＋1≤4，解得23≤k≤2．]4．已知f(x)＝ax＋b，且-11f2(x)dx＝1，求f(a)的取值范围．[解]由f(x)＝ax＋b，-11f2(x)dx＝1，得2a2＋6b2＝3,2a2＝3－6b2≥0，所以－22≤b≤22，所以f(a)＝a2＋b＝－3b2＋b＋32＝－3b－162＋1912，所以－22≤f(a)≤1912.