2019-2020学年高中数学 第3章 不等式 3.3 一元二次不等式及其解法学案 新人教B版必修5

-1-3.3一元二次不等式及其解法学习目标核心素养1.掌握一元二次不等式的解法．(重点)2．能根据三个“二次”之间的关系解决简单问题．(难点)1.通过一元二次不等式解法的学习，体现了学生逻辑推理的素养．2．借助三个“二次”之间关系的研究，提升学生的直观想象的素养.1．一元二次不等式的概念一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．4．三个“二次”之间的关系设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图得等的集不式解集f(x)＞0{x|x＜x1或x＞x2}xx≠－b2aRf(x)＜0{x|x1＜x＜x2}∅∅5．一元二次不等式恒成立问题-2-(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立⇔a0Δ0.ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立⇔a0Δ0.(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min.1．函数y＝x2＋x－12的定义域是()A．{x|x－4或x3}B．{x|－4x3}C．{x|x≤－4或x≥3}D．{x|－4≤x≤3}C[要使函数有意义，则需x2＋x－12≥0，解得x≤－4或x≥3.所以原函数的定义域为{x|x≤－4或x≥3}．]2．下列不等式中，解集是R的是()A．x2＋2x＋10B．x20C．13x＋10D．1x－21xC[x2＋2x＋10的解集为{x|x∈R且x≠－1}；x20的解集为{x|x∈R且x≠0}；1x－21x的解集为{x|x∈R且x≠0}；只有13x＋10的解集为R.]3．设集合M＝{x|x2－x0}，N＝{x|x24}，则M与N的关系为________．MN[因为M＝{x|x2－x0}＝{x|0x1}，N＝{x|x24}＝{x|－2x2}，所以MN.]4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x－3－2－101234y60－4－6－6－406则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．{x|x＜－2或x＞3}[可根据图表求得两个零点为x1＝－2，x2＝3，结合二次函数的图象(图略)求解．]-3-解不含参数的一元二次不等式(组)【例1】解下列不等式：(1)2x2＋5x－30；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2－4x＋10；(4)求函数y＝x2－4lgx2＋2x－3的定义域．[思路探究]利用一元二次不等式的解法求解．[解](1)法一：Δ＝490，方程2x2＋5x－3＝0的两根分别为x1＝－3，x2＝12，作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为x－3x12.法二：原不等式可化为(2x－1)(x＋3)0，所以原不等式的解集为x－3x12.(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝120，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝3－33，x2＝3＋33.作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为xx≤3－33或x≥3＋33.①②③(3)法一：∵Δ＝0，∴方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根，即x1＝x2＝12.作出函数y＝4x2－4x＋1的图象，如图③所示．-4-由图可得原不等式的解集为xx≠12，x∈R.法二：原不等式可化为(2x－1)20，所以原不等式的解集为xx≠12，x∈R.(4)由题意得x2－4≥0，x2＋2x－30，x2＋2x－3≠1，即x≥2或x≤－2，x－3或x1x≠－1±5，故函数y＝x2－4lgx2＋2x－3的定义域为(－∞，－1－5)∪(－1－5，－3)∪[2，＋∞)．1．利用相应一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集的情况可以归纳如下：一元二次不等式，a为正值来定形；对应方程根求好，心中想想抛物线；大于异根两边倒，小于异根夹中间；大于等根根去掉，小于等根空集成；大于无根取全体，小于无根不可能；不等式若带等号，想想图象便知晓！2．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．(5)写解集．根据图象写出不等式的解集．1．解下列不等式：(1)2x2－x＋60；(2)－12x2＋3x－50；(3)(5－x)(x＋1)≥0.-5-[解](1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×60，函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点．∴原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为x2－6x＋100，∵Δ＝62－40＝－40，∴原不等式的解集为∅.(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．解含参数的一元二次不等式【例2】解关于x的不等式x2－ax－2a20(a∈R)．[思路探究]因式分解→比较根的大小→分类讨论求解[解]原不等式转化为(x－2a)(x＋a)0.对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a．(1)当a0时，x1x2，不等式的解集为{x|－ax2a}；(2)当a＝0时，原不等式化为x20，无解；(3)当a0时，x1x2，不等式的解集为{x|2ax－a}．综上所述，原不等式的解集为：a0时，{x|－ax2a}；a＝0时，x∈∅；a0时，{x|2ax－a}．1．含参数的不等式的解题步骤(1)将二次项系数转化为正数；(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；-6-(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小)．2．解含参数的一元二次不等式(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0与等于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a0)．[解]原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0.∵a0，∴(x＋1)x－2a≤0.当－2a0时，2a≤x≤－1；当a＝－2时，x＝－1；当a－2时，－1≤x≤2a.综上所述，当－2a0时，解集为x2a≤x≤－1；当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；当a－2时，解集为x－1≤x≤2a.不等式恒成立问题【例3】设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1,3]，f(x)－m＋5恒成立，求m的取值范围．[解](1)若m＝0，显然－10恒成立；若m≠0，则m0，Δ＝m2＋4m0⇒－4m0.∴m的取值范围为(－4,0]．(2)法一：要使f(x)－m＋5恒成立，就要使mx－122＋34m－60，x∈[1,3]．令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]．-7-当m0时，g(x)在[1,3]上是增函数，∴g(x)max＝g(3)＝7m－6.∴7m－60，解得m67.∴0m67.当m＝0时，－60恒成立．当m0时，g(x)在[1,3]上是减函数．∴g(x)max＝g(1)＝m－60，解得m6，∴m0.综上所述，m的取值范围为－∞，67.法二：f(x)－m＋5恒成立，即m(x2－x＋1)－60恒成立，∵x2－x＋1＝x－122＋340，又m(x2－x＋1)－60，∴m6x2－x＋1.∵函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m67即可．∴m的取值范围为－∞，67.1．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法．a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max(f(x)存在最大值)；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min(f(x)存在最小值)．2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴下方．-8-3．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．[解](1)f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0恒成立，必须且只需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，∴－6≤a≤2.∴a的取值范围为[－6,2]．(2)f(x)＝x2＋ax＋3＝x＋a22＋3－a24.①当－a2－2，即a4时，f(x)min＝f(－2)＝－2a＋7，由－2a＋7≥a，得a≤73，故无解．②当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4时，f(x)min＝f－a2＝3－a24，由3－a24≥a，得－6≤a≤2.故－4≤a≤2.③当－a22，即a－4时，f(x)min＝f(2)＝2a＋7，由2a＋7≥a，得a≥－7，故－7≤a－4.综上可得a∈[－7,2]．一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系[探究问题]1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y0、y0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？[提示]y＝x2－2x－3的图象如图所示．-9-函数y＝x2－2x－3的值满足y0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x－1或x3}；同理，满足y0时x的取值集合为{x|－1x3}，满足y＝0时x的取值集合，亦即y＝x2－2x－3图象与x轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c0(a0)或ax2＋bx＋c0(a0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y0或y0时，就转化为一元二次不等式．2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－30的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？[提示]方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．不等式x2－2x－30的解集为{x|x－1或x3}，观察发现不等式x2－2x－30解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．这说明：一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)和ax2＋bx＋c0(a0)的解集分别为{x|xx1或xx2}，{x|x1xx2}(x1x2)，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝c