2019-2020学年高中数学 第2章 数列章末复习课学案 新人教B版必修5

-1-第2章数列求数列的通项公式【例1】已知数列{an}中，an0，Sn是数列{an}的前n项和，且an＋1an＝2Sn，求an.[解]将an＋1an＝2Sn变形为a2n＋1＝2Snan.将an＝Sn－Sn－1(n≥2)代入并化简，得S2n－S2n－1＝1.由已知可求得S1＝a1＝1.∴数列{S2n}是等差数列，公差为1，首项为1.∴S2n＝1＋(n－1)·1＝n.∵an0，∴Sn0.∴Sn＝n.∴n≥2时，an＝n－n－1.而n＝1时，a1＝1也适合上式．-2-∴数列{an}的通项公式为an＝n－n－1，n∈N＋.1．定义法．直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目．2．已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2求解．3．由递推公式求数列通项法．(1)已知形如“an＋1＝can＋d”的递推公式，一般利用待定系数法把关系式转化为等比数列求an.(2)已知形如“an＋1＝pan＋pn＋1·q”的递推公式，一般转化为an＋1pn＋1＝anpn＋q，利用anpn为等差数列求an.(3)已知形如“an＋1＝an＋f(n)”的递推公式，可考虑叠加法求an.(4)已知形如“an＋1＝f(n)·an”的递推公式，则可考虑累乘法求an.1．已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求数列{an}的通项公式．[解]由an＋1－an＝3n－n，得an－an－1＝3n－1－(n－1)，an－1－an－2＝3n－2－(n－2)，…a3－a2＝32－2，a2－a1＝3－1.当n≥2时，以上n－1个等式两边分别相加，得(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＝3n－1＋3n－2＋…＋3－[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]，即an－a1＝31－3n－11－3－nn－12.-3-又∵a1＝1，∴an＝12×3n－nn－12－12.显然a1＝1也适合上式，∴{an}的通项公式为an＝12×3n－nn－12－12.等差、等比数列的判断【例2】已知数列{an}、{bn}满足：a1＝1，a2＝a(a为常数)，且bn＝an·an＋1，其中n＝1,2,3，….(1)若{an}是等比数列，试求数列{bn}的前n项和Sn的公式；(2)当{bn}是等比数列时，甲同学说：{an}一定是等比数列；乙同学说：{an}一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？[解](1)因为{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a，所以a≠0，an＝an－1.又bn＝an·an＋1，则b1＝a1·a2＝a，bn＋1bn＝an＋1·an＋2an·an＋1＝an＋2an＝an＋1an－1＝a2，即{bn}是以a为首项，a2为公比的等比数列．所以Sn＝na＝1，－na＝－1，a1－a2n1－a2a≠±1.(2)甲、乙两个同学说法都不正确，理由如下：法一：设{bn}的公比为q，则bn＋1bn＝an＋1·an＋2an·an＋1＝an＋2an＝q，且a≠0，又a1＝1，a2＝a，a1，a3，a5，…，a2n－1，…是以1为首项，q为公比的等比数列；a2，a4，a6，…，a2n，…是以a为首项，q为公比的等比数列．即{an}为：1，a，q，aq，q2，aq2，…，当q＝a2时，{an}是等比数列；当q≠a2时，{an}不是等比数列．法二：{an}可能是等比数列，也可能不是等比数列，举例说明如下：设{bn}的公比为q.①取a＝q＝1时，an＝1(n∈N＋)，此时bn＝anan＋1＝1，{an}、{bn}都是等比数列．②取a＝2，q＝1时，an＝1，n为奇数，2，n为偶数.-4-bn＝2(n∈N＋)．此时{bn}是等比数列，而{an}不是等比数列．判定一个数列是等差或等比数列的常用方法：(1)定义法an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列．an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N＋)⇔{an}是等比数列．(2)中项法2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列．a2n＋1＝anan＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N＋)⇔{an}为等比数列．(3)通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列．an＝c·qn(c，q均为非零常数，n∈N＋)⇔{an}是等比数列．(4)前n项和公式法Sn＝An2＋Bn(A，B均为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列．Sn＝kqn－k(k为常数，q≠1且q≠0，n∈N＋)⇒{an}是等比数列．2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)求证：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．[解](1)证明：由题意知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)存在λ＝4满足题意．理由如下：由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1，令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，-5-公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3＝2(2n－1)－1，{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列．a2n＝4n－1＝2×(2n)－1.所以对于任意的n∈N＋，an＝2n－1.因为an＋1－an＝2.所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．因此假设成立，存在λ＝4使得数列{an}为等差数列.数列求和【例3】(1)已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列1bnbn＋1的前n项和Sn＝________.(2)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3×22n－1.①求数列{an}的通项公式；②令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.[解](1)设等比数列{an}的公比为q，则a4a1＝q3＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n，所以1bnbn＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1.则Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.(2)①由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.②由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n×22n－1，(ⅰ)从而22·Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n×22n＋1，(ⅱ)(ⅰ)－(ⅱ)得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n×22n＋1，即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．-6-数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解．一般常见的求和方法有：(1)公式法(直接利用等差或等比数列的前n项和公式)；(2)分组求和法；(3)错位相减法；(4)倒序相加法；(5)裂项相消法．把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；(6)并项求和法．一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．3．已知正项数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图象上，数列{bn}的前n项和Sn＝2－bn.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝－1an＋1log2bn＋1，求{cn}的前n项和Tn.[解](1)∵点()an，an＋1(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图象上，∴an＋1＝an＋1，∴数列{an}是公差为1的等差数列．∵a1＝1，∴an＝1＋(n－1)＝n，∵Sn＝2－bn，∴Sn＋1＝2－bn＋1，两式相减得：bn＋1＝－bn＋1＋bn，即bn＋1bn＝12，由S1＝2－b1，即b1＝2－b1，得b1＝1.∴数列{bn}是首项为1，公比为12的等比数列，∴bn＝12n－1.(2)log2bn＋1＝log212n＝－n，-7-∴cn＝1nn＋1＝1n－1n＋1，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.函数与方程思想在数列中的应用【例4】(1)已知数列{an}的首项为a1＝21，前n项和为Sn＝an2＋bn，等比数列{bn}的前n项和Tn＝2n＋1＋a，则Sn的最大值为________；(2)若等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2·a4·a6＝45，则通项公式an＝________.[解析](1)由Tn＝2×2n＋a，可求得a＝－2，所以Sn＝－2n2＋bn，所以数列{an}为等差数列，又因为a1＝21，Sn＝－2n2＋bn，故b＝21－(－2)＝23，所以Sn＝－2n2＋23n＝－2n－2342＋5298，当n＝6时，Sn取得最大值66.(2)因为a1＋a7＝2a4＝a2＋a6，所以a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5，所以a2＋a6＝10且a2·a6＝9，所以a2，a6是方程x2－10x＋9＝0的两根，解得a2＝1，a6＝9或a2＝9，a6＝1，若a2＝1，a6＝9，则d＝2，所以an＝2n－3；若a2＝9，a6＝1，则d＝－2，所以an＝13－2n.故an＝2n－3或an＝13－2n.[答案](1)66(2)2n－3或13－2n1．在等差(比)数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量a1，d(或q)，n，an及Sn，已知这5个量中任意3个量的值，就可以运用方程思想，解方程(或方程组)求出另外2个量的值．-8-2．数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集)的特殊函数．运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决与数列相关的问题．等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列前n项和公式与二次函数有密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题．4．已知数列{an}中，a1＝35，anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N＋)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N＋)．(1)求证：{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由．[解](1)因为anan－1＝2an－1－1，所以an＝2－1an－1(n≥2，n∈N＋)．又因为bn＝1an－1(n∈N＋)，所以bn＋1－bn＝1an＋1－1－1an－1＝12－1an－1－1an－1＝anan－1－1an－1＝1，所以{bn}的公差d＝1，首项为b1＝1a1－1＝135－1＝－52的等差数列．(2)由(1)知：bn＝1an－1＝－52＋(n－1)＝n－72，所以an＝1＋22n－7.所以n≥4时，数列{an}单调递减且an1；当1≤n≤3时，数列{an}单调递减且an1，所以数列{an}的最大项为a4＝3；最小项为a3＝－1.