2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.3 等差数列的前n项和（第2课时）等差数列前n项和

-1-第2课时等差数列前n项和的综合应用学习目标核心素养1.掌握an与Sn的关系并会应用(难点).2.掌握等差数列前n项和的性质及应用(重点).3.会求等差数列前n项和的最值(重点).4.会用裂项相消法求和(易错点)．1.通过等差数列前n项和Sn的函数特征的学习，体现了数学建模素养.2.借助等差数列前n项和Sn性质的应用及裂项相消法求和，培养数学运算素养.1．Sn与an的关系an＝S1（n＝1），Sn－Sn－1（n≥2）.2．等差数列前n项和的性质(1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．思考：如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？[提示](a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)＝＝100d，类似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d.∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列．3．等差数列前n项和Sn的最值(1)若a10，d0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．(2)若a10，d0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．特别地，若a10，d0，则S1是{Sn}的最小值；若a10，d0，则S1是{Sn}的最大值．思考：我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝d2n2＋a1－d2n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？[提示]由二次函数的性质可以得出：当a10，d0时，Sn先减后增，有最小值；当a10，d0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．-2-1．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于()A．9B．10C．11D．12B[∵S奇S偶＝n＋1n，∴165150＝n＋1n.∴n＝10.故选B项．]2．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝________．15[由S2，S4－S2，S6－S4成等差数列得2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)，解得S6＝15.]3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为________．23或24[由an≤0即2n－48≤0得n≤24.∴所有负项的和最小，即n＝23或24.]4.若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．2A[a1＝S1＝A＋B，a2＝S2－S1＝(4A＋2B)－(A＋B)＝3A＋B，∴d＝a2－a1＝2A.]等差数列前n项和的性质【例1】(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知SnTn＝7n＋2n＋3，求a5b5的值．[解](1)在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．∴30，70，S3m－100成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.(2)a5b5＝12（a1＋a9）12（b1＋b9）＝9（a1＋a9）29（b1＋b9）2＝S9T9＝7×9＋29＋3＝6512.等差数列前n项和计算的几种思维方法(1)整体思路：利用公式Sn＝n（a1＋an）2，设法求出整体a1＋an，再代入求解．(2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用Snn是关于n的一次函数，设Snn＝an＋b(a≠0)进行计算．-3-1．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，则S13＝________．(2)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列Snn的前10项和为________．(1)104(2)75[(1)由a2＋a7＋a12＝24，得a7＝8，所以S13＝a1＋a132×13＝a7·13＝104.(2)因为an＝2n＋1，所以a1＝3.所以Sn＝n（3＋2n＋1）2＝n2＋2n，所以Snn＝n＋2，所以Snn是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.]等差数列前n项和Sn的函数特征[探究问题]1．将首项为a1＝2，公差d＝3的等差数列的前n项和看作关于n的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n项和为Sn＝3n2＋n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？[提示]首项为2，公差为3的等差数列的前n项和为Sn＝2n＋n（n－1）×32＝32n2＋12n，显然Sn是关于n的二次型函数．且常数项为0，二次项系数为d2，一次项系数为a1－d2；如果一个数列的前n项和为Sn＝3n2＋n，那么当n＝1时，S1＝a1＝4.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n－2，则该数列的通项公式为an＝6n－2，所以该数列为等差数列，事实上对于任何一个等差数列的前n项和都是关于n的二次型函数，且常数项为0，反之，一个数列的前n项和具备上述特征，该数列一定是等差数列．2．已知一个数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n，试画出Sn关于n的函数图象．你能说明数列{an}的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？[提示]Sn＝n2－5n＝n－522－254，它的图象是分布在函数y＝x2－5x的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了{an}前n项为负数．由Sn的图象可知，Sn有最小值且当n＝2或3时，Sn最小，最小值为－6，即数列{an}前2项或前-4-3项和最小．【例2】数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，(1)求{an}的通项公式；(2)问{an}的前多少项和最大；(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Sn′.思路探究：(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项．(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解．(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解．[解](1)法一：(公式法)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n.故{an}的通项公式为an＝34－2n.法二：(结构特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知d2＝－1，a1－d2＝33，解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.(2)法一：(公式法)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故数列{an}的前17项大于或等于零．又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．法二：(函数性质法)由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝332.距离332最近的整数为16，17.由Sn＝－n2＋33n的图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．-5-(3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an0.所以当n≤17时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.当n≥18时，Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn＝n2－33n＋544.故Sn′＝33n－n2（n≤17），n2－33n＋544（n≥18）.1．(变条件)将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“在等差数列{an}中a1＝25，S17＝S9”求其前n项和Sn的最大值．[解]法一：∵S9＝S17，a1＝25，∴9×25＋9（9－1）2d＝17×25＋17（17－1）2d，解得d＝－2.∴Sn＝25n＋n（n－1）2×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169.∴当n＝13时，Sn有最大值169.法二：同法一，求出公差d＝－2.∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.∵a1＝250，由an＝－2n＋27≥0，an＋1＝－2（n＋1）＋27≤0，得n≤1312，n≥1212，又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169.法三：∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0.由等差数列的性质得a13＋a14＝0.-6-∵a10，∴d0.∴a130，a140.∴当n＝13时，Sn有最大值169.法四：设Sn＝An2＋Bn.∵S9＝S17，∴二次函数对称轴为x＝9＋172＝13，且开口方向向下，∴当n＝13时，Sn取得最大值169.2．(变条件)将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“Sn＝－3n22＋2052n”求数列{|an|}的前n项和Tn.[解]a1＝S1＝－32×12＋2052×1＝101.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－32n2＋2052n－－32（n－1）2＋2052（n－1）＝－3n＋104.∵n＝1也适合上式，∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)．由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7.即当n≤34时，an0；当n≥35时，an0.(1)当n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－32n2＋2052n；(2)当n≥35时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S34－Sn＝2－32×342＋2052×34－－32n2＋2052n＝32n2－2052n＋3502.故Tn＝－32n2＋2052n，n≤34且n∈N*，32n2－2052n＋3502，n≥35且n∈N*.-7-1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)．(2)借助二次函数的图象及性质求最值．2．寻求正、负项分界点的方法(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用an≥0，an＋1≤0或an≤0，an＋1≥0来寻找．(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．3．求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．裂项相消法求和【例3】等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求1S1＋1S2＋…＋1Sn.思路探究：根据{an}为等差数列求出其前n项和，根据1Sn的通项特征，利用裂项相消法求和．[解]∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，∴前n项和Sn＝na1＋n（n－1）2d＝3n＋n（n－1）2×2＝n2＋2n(n∈N*)，∴1Sn＝1n2＋2n＝1n（n＋2）＝121n－1n＋2，∴1S1＋1S2＋…＋1Sn＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1－1n＋1＋