2019-2020学年高中数学 第1讲 坐标系 2 极坐标系学案 新人教A版选修4-4

-1-二极坐标系学习目标：1.理解极坐标系的概念.2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．(难点)3.掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互化．(重点、易错点)教材整理1极坐标系阅读教材P8～P10，完成下列问题．1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2．点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．如果规定ρ0，0≤θ2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．在极坐标系中，ρ1＝ρ2，且θ1＝θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．[答案]A教材整理2极坐标和直角坐标的互化阅读教材P11，完成下列问题．1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．-2-2．互化公式：设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式x＝ρcosθy＝ρsinθρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)将点M的极坐标10，π3化为直角坐标是()A．(5,53)B．(53，5)C．(5,5)D．(－5，－5)[解析]x＝ρcosθ＝10cosπ3＝5，y＝ρsinθ＝10sinπ3＝53.[答案]A将点的极坐标化为直角坐标【例1】写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限．(1)2，4π3；(2)2，23π；(3)2，－π3；(4)(2，－2)．[思路探究]点的极坐标(ρ，θ)―→x＝ρcosθy＝ρsinθ―→点的直角坐标(x，y)―→判定点所在象限．[自主解答](1)由题意知x＝2cos4π3＝2×－12＝－1，y＝2sin4π3＝2×－32＝－3，∴点2，4π3的直角坐标为()－1，－3，是第三象限内的点．-3-(2)x＝2cos23π＝－1，y＝2sin23π＝3，∴点2，23π的直角坐标为(－1，3)，是第二象限内的点．(3)x＝2cos－π3＝1，y＝2sin－π3＝－3，∴点2，－π3的直角坐标为(1，－3)，是第四象限内的点．(4)x＝2cos(－2)＝2cos2，y＝2sin(－2)＝－2sin2，∴点(2，－2)的直角坐标为(2cos2，－2sin2)，是第三象限内的点．1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长度单位相同．2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．1．分别把下列点的极坐标化为直角坐标：(1)2，π6；(2)3，π2；(3)(π，π)．[解](1)∵x＝ρcosθ＝2cosπ6＝3，y＝ρsinθ＝2sinπ6＝1，∴点的极坐标2，π6化为直角坐标为(3，1)．(2)∵x＝ρcosθ＝3cosπ2＝0，y＝ρsinθ＝3sinπ2＝3，∴点的极坐标3，π2化为直角坐标为(0,3)．(3)∵x＝ρcosθ＝πcosπ＝－π，y＝ρsinθ＝πsinπ＝0，∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．将点的直角坐标化为极坐标-4-【例2】分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ2π)：(1)(－2,23)；(2)(6，－2)；(3)3π2，3π2.[思路探究]利用公式ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)，但求角θ时，要注意点所在的象限．[自主解答](1)∵ρ＝x2＋y2＝－22＋232＝4，tanθ＝yx＝－3，θ∈[0,2π)，由于点(－2,23)在第二象限，∴θ＝2π3，∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标为4，23π.(2)∵ρ＝x2＋y2＝62＋－22＝22，tanθ＝yx＝－33，θ∈[0,2π)，由于点(6，－2)在第四象限，∴θ＝11π6，∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为22，11π6.(3)∵ρ＝x2＋y2＝3π22＋3π22＝32π2，tanθ＝yx＝1，θ∈[0,2π)，由于点3π2，3π2在第一象限，∴θ＝π4，∴点的直角坐标3π2，3π2化为极坐标为32π2，π4.-5-1．将直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)进行求解，先求极径，再求极角．2．在[0,2π)范围内，由tanθ＝yx(x≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可．2．已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标：(1)A(3，3)；(2)B(－2，－23)；(3)C(0，－2)；(4)D(3,0)．[解](1)由题意可知：ρ＝32＋32＝23，tanθ＝33，所以θ＝π6，所以点A的极坐标为23，π6.(2)ρ＝－22＋－232＝4，tanθ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B点的极坐标为4，43π.(3)ρ＝02＋－22＝2，θ为32π，θ在y轴负半轴上，所以C点的极坐标为2，32π.(4)ρ＝32＋02＝3，tanθ＝03＝0，故θ＝0，所以D点的极坐标为(3,0)．极坐标与直角坐标的综合应用【例3】在极坐标系中，如果A2，π4，B2，5π4为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标(ρ0,0≤θ2π)．[思路探究]解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解点C的直角坐标，进而求出点C的极坐标．[自主解答]对于点A2，π4有ρ＝2，θ＝π4，∴x＝2cosπ4＝2，y＝2sinπ4＝2，则A(2，2)．-6-对于B2，54π有ρ＝2，θ＝54π，∴x＝2cos5π4＝－2，y＝2sin5π4＝－2，∴B(－2，－2)．设C点的坐标为(x，y)，由于△ABC为等边三角形，故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4，∴有x－22＋y－22＝16，x＋22＋y＋22＝16，解之得x＝6，y＝－6或x＝－6，y＝6，∴C点的坐标为(6，－6)或(－6，6)，∴ρ＝6＋6＝23，tanθ＝－66＝－1，∴θ＝7π4或θ＝3π4.故点C的极坐标为23，7π4或23，3π4.1．本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质．结合几何图形可知，点C的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键．2．若设出C(ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解．3．本例中，如果点的极坐标仍为A2，π4，B2，5π4，且△ABC为等腰直角三角形，如何求直角顶点C的极坐标？[解]对于点A2，π4，直角坐标为(2，2)，点B2，5π4的直角坐标为(－2，－2)，设点C的直角坐标为(x，y)，由题意得AC⊥BC，且|AC|＝|BC|，∴AC→·BC→＝0，即(x－2，y－2)·(x＋2，y＋2)＝0，-7-∴x2＋y2＝4.①又|AC→|2＝|BC→|2，于是(x－2)2＋(y－2)2＝(x＋2)2＋(y＋2)2，∴y＝－x，代入①，得x2＝2，解得x＝±2，∴x＝2，y＝－2，或x＝－2，y＝2，∴点C的直角坐标为(2，－2)或(－2，2)，∴ρ＝2＋2＝2，tanθ＝－1，θ＝7π4或3π4，∴点C的极坐标为2，3π4或2，7π4.极坐标[探究问题]1．如图是某校园的平面示意图．假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：①他向东偏北60°方向走120m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？②如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？[提示]以A为基点，射线AB为参照方向，利用与A的距离、与AB所成的角，就可以刻画平面上点的位置．①到达图书馆，该位置惟一确定；②体育馆在正东方向60m处，办公楼在西北方向50m处．2．在极坐标系中，4，π6，4，π6＋2π，4，π6＋4π，4，π6－2π表示的点有什么关系？你能从中体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗？[提示]由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示同一个点．实际上，4，π6＋2kπ(k∈Z)都表示这个点．【例4】设点A2，π3，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ0，－πθ≤π)．-8-[思路探究]欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值．[自主解答]如图所示，关于极轴的对称点为B2，－π3，关于直线l的对称点为C2，23π，关于极点O的对称点为D2，－23π.四个点A，B，C，D都在以极点为圆心，2为半径的圆上．1．点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ0,0≤θ2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．2．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序．4．在极坐标系中与点A3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是()A.3，23πB.3，π3C.3，43πD.3，56π[解析]与点A3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为3，2kπ＋π3(k∈Z)．[答案]B极坐标系——极坐标的概念—点与极坐标的关系—极坐标与直角坐标的互化-9-1．极坐标系中，点M(1,0)关于极点的对称点为()A．(1,0)B．(－1，π)C．(1，π)D．(1,2π)[解析]∵(ρ，θ)关于极点的对称点为(ρ，π＋θ)，∴M(1,0)关于极点的对称点为(1，π)．[答案]C2．点A的极坐标是2，7π6，则点A的直角坐标为()A．(－1，－3)B．(－3，1)C．(－3，－1)D．(3，－1)[解析]x＝ρcosθ＝2cos76π＝－3，y＝ρsinθ＝2sin76π＝－1.[答案]C3．点M的直角坐标为0，π2，则点M的极坐标可以为()A.π2，0B.0，π2C.π2，π2D.π2，－π2[解析]∵ρ＝x2＋y2＝π2，且θ＝π2，∴M的极坐标为π2，π2.[答案]C4．将极轴Ox绕极点顺时针方向旋转π6得到射线OP，在OP上取点M，使|OM|＝2，则ρ0，θ∈[0,2π)时点M的极坐标为________，它关于极轴的对称点的极坐标为___________________