2019-2020学年高中数学 第2章 随机变量及其分布 2.1.2 离散型随机变量的分布列学案 新

-1-2.1.2离散型随机变量的分布列学习目标核心素养1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质．2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点)1.通过离散型随机变量及其分布列的概念与性质的学习，培养数学抽象的素养．2.借助分布列的求法，培养数学运算的素养.1．离散型随机变量的分布列(1)定义一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)性质①pi≥0，i＝1,2，…，n；②i＝1npi＝1.思考1：求离散型随机变量的分布列的步骤是什么？[提示]求离散型随机变量的分布列的步骤：(1)找出随机变量所有可能的取值xi(i＝1,2,3，…，n)；(2)求出相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2,3，…，n)；(3)列成表格形式．2．两点分布X01P1－pp若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功-2-概率．3．超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{}M，n，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN思考2：在超几何分布中，随机抽样采用的是有放回抽样，还是不放回抽样．[提示]一般为不放回抽样．1．下列表中能成为随机变量X的分布列的是()C[由离散型随机变量分布列的性质可知，概率非负且和为1.]2．若离散型随机变量X的分布列为X01P2a3a则a＝()A.15B.14C.13D.12-3-A[由离散型随机变量分布列的性质可知，2a＋3a＝1，所以a＝15.]3．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________.521[P(X＝3)＝C35C15C410＝521.]分布列的性质及应用【例1】设随机变量X的分布列PX＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求PX≥35.[解]分布列可改写为：X1525354555Pa2a3a4a5a(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝115.(2)PX≥35＝PX＝35＋PX＝45＋PX＝55＝315＋415＋515＝45，或PX≥35＝1－PX≤25＝1－115＋215＝45.利用离散型分布列的性质解题时要注意两个问题1．X＝Xi的各个取值表示的事件是互斥的．2．不仅要注意pi＝1而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X－101P121－2qq2(1)求q的值；-4-(2)求P(X0)，P(X≤0)的值．[解](1)由分布列的性质得1－2q≥0，q2≥0，12＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1－22.(2)P(X0)＝P(X＝－1)＝12；P(X≤0)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)＝12＋1－21－22＝2－12.离散型随机变量的分布列【例2】一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码．(1)求X的分布列；(2)求X的取值不小于4的概率．[解](1)随机变量X的可能取值为3,4,5,6，P(X＝3)＝C33C36＝120，P(X＝4)＝C23C36＝320，P(X＝5)＝C24C36＝310，P(X＝6)＝C25C36＝12，所以随机变量X的分布列为X3456P12032031012(2)X的取值不小于4的概率为P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝320＋310＋12＝1920.(变条件)本例中“若X表示取出球的最小号码”，求X的分布列．[解]随机变量X的可能取值为1,2,3,4.-5-P(X＝1)＝C25C36＝12，P(X＝2)＝C24C36＝310，P(X＝3)＝C23C36＝320，P(X＝4)＝1C36＝120，所以，X的分布列为X1234P12310320120求离散型随机变量分布列时应注意的问题1．确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．2．在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可以验证分布列是否正确．2．袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球后停止，求取球次数X的分布列．[解]X的可能取值为1,2,3,4,5，则第1次取出白球的概率P(X＝1)＝15，第2次取出白球的概率P(X＝2)＝45×14＝15，第3次取出白球的概率P(X＝3)＝45×34×13＝15，第4次取出白球的概率P(X＝4)＝45×34×23×12＝15，第5次取出白球的概率P(X＝5)＝45×34×23×12×11＝15.所以X的分布列是X12345-6-P1515151515两点分布与超几何分布[探究问题]1．只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？[提示]不一定．如随机变量X的分布列由下表给出X25P0.30.7X不服从两点分布，因为X的取值不是0或1.2．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个球，求取出的球中白球个数X是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？[提示]随机变量X服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N—M个)，任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题．【例3】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．[思路点拨](1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X＝0或1.(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X＝1,2)服从超几何分布．[解](1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．P(X＝1)＝C14C110＝410＝25，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－25＝35.因此X的分布列为X01P3525(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝C14C16＋C24C06C210＝3045＝23.②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P(Y＝0)＝C04C26C210＝1545＝13，-7-P(Y＝10)＝C13C16C210＝1845＝25，P(Y＝20)＝C23C06C210＝345＝115，P(Y＝50)＝C11C16C210＝645＝215，P(Y＝60)＝C11C13C210＝345＝115.因此随机变量Y的分布列为Y010205060P13251152151151．两点分布的特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．(2)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))．2．解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．3．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布列；(2)他能及格的概率．[解](1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则P(X＝r)＝Cr6C3－r4C310(r＝0,1,2,3)．所以P(X＝0)＝C06C34C310＝130，P(X＝1)＝C16C24C310＝310，-8-P(X＝2)＝C26C14C310＝12，P(X＝3)＝C36C04C310＝16.所以X的概率分布列为X0123P1303101216(2)他能及格的概率P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝12＋16＝23.1．在利用分布列的性质解题时要注意：①X＝xi的各个取值所表示的事件是互斥的；②不仅要注意i＝1npi＝1，而且要注意0≤pi≤1，i＝1,2，…，n.2．超几何分布的数学模型是：一批产品共有N件，其中有M件不合格品，随机取出的n件产品中，不合格品X＝r的概率是P(X＝r)＝CrMCn－rN－MCnN.在应用上述公式时，要注意N，M，n，r的实际意义.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．()(2)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究．()(3)从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X服从超几何分布．()[答案](1)×(2)√(3)√2．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为()A．6B．5C．4D．2B[由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余钥匙一定能打开锁，故选B.]3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．[解](1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，-9-P(ξ＝k)＝Ck2·C3－k4C36，k＝0,1,2.所以，ξ的分布列为ξ012P153515(2)由(1)知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝45.