2019-2020学年高中数学 第2章 随机变量及其分布 2.2.2 事件的相互独立性学案 新人教A

-1-2.2.2事件的相互独立性学习目标核心素养1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．(难点)2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．(重点)3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题．(重点、难点)1.通过学习事件相互独立的概念，培养数学抽象的素养．2.借助相互独立事件的乘法公式解题，提升数学运算的素养.1．相互独立事件的定义和性质(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，那么称事件A与事件B相互独立．(2)性质：①如果A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．②如果A与B相互独立，那么P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．思考：互斥事件与相互独立事件的区别是什么？[提示]相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号表示相互独立事件A，B同时发生，记作：AB互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)计算公式P(AB)＝P(A)P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)2．n个事件相互独立对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．3．独立事件的概率公式(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)；(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．1．坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2-2-表示第二次摸得白球，则A1与A2是()A．相互独立事件B．不相互独立事件C．互斥事件D．对立事件A[由概率的相关概念得A1与A2是互不影响的两个事件，故是相互独立的事件．]2．一个学生通过一种英语能力测试的概率是12，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是()A.14B.13C.12D.34C[由题意知，恰有一次通过的概率为12×1－12＋1－12×12＝12.]3．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．35192[由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34.在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为P＝512×712×34＝35192.]相互独立事件的判断【例1】判断下列各对事件是否是相互独立事件．(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．[思路点拨](1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义判断．[解](1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一-3-事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，所以P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16.所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立．判断事件是否相互独立的方法1．定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)．2．直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．3．条件概率法：当P(A)0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．1．(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是()A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B()A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥(1)A(2)A[(1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响．故选A.(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A.]相互独立事件同时发生的概率【例2】甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14.求：-4-(1)两人都能破译的概率；(2)两人都不能破译的概率；(3)恰有一人能破译的概率；(4)至多有一人能够破译的概率．[解]设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件B，则A，B相互独立，从而A与B－、A－与B、A－与B－均相互独立．(1)“两人都能破译”为事件AB，则P(AB)＝P(A)P(B)＝13×14＝112.(2)“两人都不能破译”为事件AB，则P(AB)＝P(A－)P(B－)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－13×1－14＝12.(3)“恰有一人能破译”为事件(AB－)∪(A－B)，又AB－与A－B互斥，所以P[(AB－)∪(A－B)]＝P(AB－)＋P(A－B)＝P(A)P(B－)＋P(A－)P(B)＝13×1－14＋1－13×14＝512.(4)“至多有一人能破译”为事件(AB－)∪(A－B)∪(AB)，而AB－、A－B、AB互斥，故P[(AB－)∪(A－B)∪(AB)]＝P(AB－)＋P(A－B)＋P(AB)＝P(A)P(B－)＋P(A－)P(B)＋P(A－)P(B－)＝13×1－14＋1－13×14＋1－13×1－14＝1112.1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件是相互独立的；(2)再确定各事件会同时发生；(3)先求每个事件发生的概率，再求其积．2．公式P(AB)＝P(A)P(B)可推广到一般情形，即如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．-5-2．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大．[解]记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13.设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率：P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率：P0＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率：P2＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360.恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合(1)(2)可知P1最大．所以出现恰有一人合格的概率最大.事件的相互独立性与互斥性[探究问题]1．甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件AB与AB呢？[提示]事件A与B，A与B，A与B均是相互独立事件，而AB与AB是互斥事件．2．在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击-6-中目标的概率？[提示]“甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C，则C＝AB＋AB.所以P(C)＝P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.【例3】在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．[思路点拨]该线路是并联电路，当且仅当三个开关都不闭合时，线路才不通，故本题可采用对立事件求解．[解]分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A，B，C.由题意知这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响．根据相互独立事件概率的乘法公式，得这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.所以在这段时间内线路正常工作的概率是1－P(ABC)＝1－0.027＝0.973.概率问题中的数学思想1．正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P(A)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．2．化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件)．3．方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．-7-3．设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是14，求事件A和事件B同时发生的概率．[解]在相互独立事件A和B中，只有A发生即事件AB发生，只有B发生即事件AB发生．∵A和B相互独立，∴A与B，A和B也相互独立．∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝P(A)·[1－P(B)]＝14，①P(AB)＝P(A)·P(B)＝[1－P(A)]·P(B)＝14.②①－②得P(A)＝P(B)．③联立①③可解得P(A)＝P(B)＝12.∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝12×12＝14.与相互独立事件A，B有关的概率计算公式事件A，B的各种情形概率计算公式A，B同时发生P(AB)＝P(A)P(B)A，B都不发生P(AB)＝P(A)P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)A，B至少有一个不发生P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)A，B至少有一个发生P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)A，B恰好有一个发生P＝P(AB＋AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立．()-8-(2)若事件A，B相互独立，则P(A－B－)＝P(A)P(B)．()(3)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．()(4)若事件A与B相互独立，则B与B相互独立．()[答案](1)√(2)