2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教A版选修2-2

-1-2.1.1合情推理学习目标核心素养1．了解合情推理的含义．(易混点)2．理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比推理进行简单的推理．(重点、难点)1．通过归纳推理与类比推理的学习，培养学生逻辑推理的核心素养．2．借助合情推理的应用，养成学生逻辑推理的核心素养.1．归纳推理与类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理思考：归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？[提示]归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．合情推理1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了()A．归纳推理B．类比推理-2-C．没有推理D．以上说法都不对B[推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．]2．等差数列{an}中有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{bn}中类似的结论是________．b2n＝bn－1bn＋1(n≥2，且n∈N*)[类比等差数列，可以类比出结论b2n＝bn－1bn＋1(n≥2，且n∈N*)．]3．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝________，an＝________(n1，n∈N*)．153n－3[依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得an＝3n－3(n1，n∈N*)．]数、式中的归纳推理【例1】(1)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……照此规律，第n个等式可为________．(2)已知：f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________．(3)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，满足Sn＝6－2an＋1(n∈N*)．①求a2，a3，a4的值；②猜想an的表达式．(1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1nn＋12(2)f3(x)＝x1－4xfn(x)＝x1－2n－1x[(1)12＝1，12－22＝－(1＋2)，-3-12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，…12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1nn＋12.(2)∵f(x)＝x1－x，∴f1(x)＝x1－x.又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，∴f2(x)＝f1(f1(x))＝x1－x1－x1－x＝x1－2x，f3(x)＝f2(f2(x))＝x1－2x1－2×x1－2x＝x1－4x，f4(x)＝f3(f3(x))＝x1－4x1－4×x1－4x＝x1－8x，f5(x)＝f4(f4(x))＝x1－8x1－8×x1－8x＝x1－16x，根据前几项可以猜想fn(x)＝x1－2n－1x.](3)[解]①因为a1＝3，且Sn＝6－2an＋1(n∈N*)，所以S1＝6－2a2＝a1＝3，解得a2＝32，又S2＝6－2a3＝a1＋a2＝3＋32，解得a3＝34，又S3＝6－2a4＝a1＋a2＋a3＝3＋32＋34，解得a4＝38.②由①知a1＝3＝320，a2＝32＝321，a3＝34＝322，a4＝38＝323，…，猜想an＝32n－1(n∈N*)．-4-进行数、式中的归纳推理的一般规律1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论．2．数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于________．65[因为4＋1＝5,8＋1＝9,16＋1＝17,32＋1＝33，猜测x＝64＋1＝65.]2．观察下列等式：sinπ3-2＋sin2π3-2＝43×1×2；sinπ5-2＋sin2π5-2＋sin3π5-2＋sin4π5-2＝43×2×3；sinπ7-2＋sin2π7-2＋sin3π7-2＋…＋sin6π7-2＝43×3×4；sinπ9-2＋sin2π9-2＋sin3π9-2＋…＋sin8π9-2＝43×4×5；……照此规律，sinπ2n＋1-2＋sin2π2n＋1-2＋sin3π2n＋1-2＋…＋sin2nπ2n＋1-2＝________.43n(n＋1)[通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n×(n＋1)，即43n(n＋1)．]-5-几何图形中的归纳推理【例2】(1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________．(2)根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．①②③④(1)5n＋1(2)509[(1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.]归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：3．如图所示，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：-6-通过观察可以发现：第五个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根．163n＋1[数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根．]类比推理及其应用[探究问题]三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完成下列探究点：1．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？[提示]四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．2．三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？[提示]四面体的体积等于底面积与高的积的13.【例3】(1)在等差数列{an}中，对任意的正整数n，有a1＋a2＋a3＋…＋a2n－12n－1＝an.类比这一性质，在正项等比数列{bn}中，有________．(2)在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC边上的射影，则AB2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体A­BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，且O在△BCD内．类比平面三角形射影定理，写出对△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系，并给予必要证明．思路探究：(1)类比等差数列及等比数列的性质求解．(2)将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面-7-ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S2△ABC＝S△OBC·S△DBC.(1)2n－1b1·b2·b3…b2n－1＝bn[由a1＋a2＋…＋a2n－1类比成b1·b2·b3…b2n－1，除以2n－1，即商类比成开2n－1次方，即在正项等比数列{bn}中，有2n－1b1·b2·b3…b2n－1＝bn.](2)[解]△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系为S2△ABC＝S△OBC·S△DBC.证明如下：如图，设直线OD与BC相交于点E，∵AD⊥平面ABE，∴AD⊥AE，AD⊥BC.又∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥DE，AO⊥BC.∵AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AED，∴BC⊥AE，BC⊥DE.∴S△ABC＝12BC·AE，S△BOC＝12BC·OE,S△BCD＝12BC·DE.在Rt△ADE中，由射影定理知AE2＝OE·DE，∴S2△ABC＝S△BOC·S△BCD.1．(变条件)把本例(2)中的射影定理的表示换为“a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边”．类比上述定理，写出对空间四面体(如图所示)性质的猜想．[解]在四面体P­ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.2．(变条件)把本例(2)条件换为“在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，有1AD2＝1AB2＋1AC2成立”．那么在四面体A­BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．[解]猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A­BCD中，AB，AC，AD两两垂直，-8-AE⊥平面BCD.则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.下面证明上述猜想成立．如图所示，连接BE，并延长交CD于点F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．类比推理的一般步骤1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理，数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．2．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想-9-1．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝底×高2，可知扇形面积公式为()A.r22B.l22C.lr