2019-2020学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算学

-1-3.2.2复数代数形式的乘除运算学习目标核心素养1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．(重点、难点)2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(易混点)3．了解共轭复数的概念．(难点)1．通过复数代数形式的乘法、除法的学习，培养学生的数学运算核心素养．2．通过共轭复数及其应用的学习，提升学生的数学运算核心素养.1．复数代数形式的乘法法则(1)复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.思考1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3思考2：|z|2＝z2，正确吗？[提示]不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1.2．共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即z＝a＋bi，则z＝a－bi.3．复数代数形式的除法法则(a＋bi)÷(c＋di)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．1．复数(3＋2i)i等于()-2-A．－2－3iB．－2＋3iC．2－3iD．2＋3iB[(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B.]2．已知复数z＝2－i，则z·z的值为()A．5B.5C．3D.3A[z·z＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.]3．(2－i)÷i＝________.－1－2i[(2－i)÷i＝2－ii＝2－i－ii－i＝－1－2i.]4．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则2z＋z2＝________.1＋i[2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2＝21－i2＋1＋2i＋i2＝1－i＋2i＝1＋i.]复数乘法的运算【例1】(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)(2)计算：①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；②(3＋4i)(3－4i)；③(1＋i)2.(1)B[z＝()1－i()a＋i＝()a＋1＋()1－ai，因为对应的点在第二象限，所以a＋10，1－a0，解得a－1，故选B.](2)[解]①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i.②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25.③(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.-3-1．两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；(3)(1±i)2＝±2i.1．(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A．i(1＋i)2B．i2(1－i)C．(1＋i)2D．i(1＋i)(2)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．(1)C(2)5[(1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i，故选C.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5.]复数除法的运算【例2】(1)如图所示，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA→，OB→，则复数z1z2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)计算：1＋i71－i＋1－i71＋i－3－4i2＋2i34＋3i.(1)B[由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以z1z2＝－2－ii＝－1＋2i，对应的点在第二象限．]-4-(2)[解]原式＝[(1＋i)2]3·1＋i1－i＋[(1－i)2]3·1－i1＋i－83－4i1＋i33－4ii＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2i1＋ii＝8＋8－16－16i＝－16i.1．两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．2．常用公式(1)1i＝－i；(2)1＋i1－i＝i；(3)1－i1＋i＝－i.2．(1)(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝()A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i(2)计算：①7＋i3＋4i；②－1＋i2＋i－i.(1)D(2)[解]①7＋i3＋4i＝7＋i3－4i3＋4i3－4i＝25－25i25＝1－i.②－1＋i2＋i－i＝－3＋i－i＝－3＋i·i－i·i＝－1－3i.共轭复数及其应用[探究问题]1．若z＝z，则z是什么数？这个性质有什么作用？[提示]z＝z⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．2．若z≠0且z＋z＝0，则z是什么数？这个性质有什么作用？[提示]z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用这个性质可证明一个复数为纯虚数．3．三个实数|z|，|z|，z·z具有怎样的关系？[提示]设z＝a＋bi，则z＝a－bi，所以|z|＝a2＋b2，|z|＝a2＋－b2＝a2＋b2，z·z-5-＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，所以|z|2＝|z|2＝z·z.【例3】(1)已知复数z＝3＋i1－3i2，z是z的共轭复数，则z·z等于()A．14B．12C．1D．2(2)已知复数z满足|z|＝5，且(1－2i)z是实数，求z.思路探究：可以先设复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解．(1)A[法一：∵z＝3＋i1－3i2＝－3i2＋i1－3i2＝i1－3i1－3i2＝i1－3i＝i1＋3i4＝－34＋i4，∴z＝－34－i4，∴z·z＝14.法二：∵z＝3＋i1－3i2，∴|z|＝3＋i1－3i2＝|3＋i||1－3i2|＝24＝12，∴z·z＝14.](2)[解]法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i，又因为(1－2i)z是实数，所以b－2a＝0，即b＝2a，又|z|＝5，所以a2＋b2＝5.解得a＝±1，b＝±2，所以z＝1＋2i或－1－2i，所以z＝1－2i或－1＋2i，即z＝±(1－2i)．法二：因为(1－2i)z是实数，故可设z＝b(1＋2i)，b∈R，由|z|＝5可知|b|1＋4＝5，所以b＝±1，即z＝±(1－2i)．1．(变结论)在例(1)条件不变的情况下，把例(1)的结论改为求zz.[解]由例题(1)的解析可知z＝－34＋i4，z＝－34－i4，z·z＝14，∴zz＝z2z·z＝-6-－34＋i4214＝12－32i.2．(变条件)把例(2)的条件“(1－2i)z是实数”换成“(1－2i)z是纯虚数”，求z.[解]设z＝a＋bi，则z＝a－bi，由例题(2)的解析可知a＝－2b，由|z|＝a2＋b2＝5b2＝5，得b＝1，a＝－2；或b＝－1，a＝2.所以z＝－2－i，或z＝2＋i.1．由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数．2．注意共轭复数的简单性质的运用．1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．3．复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于()A．－iB．iC．－1D．1A[z＝1i＝－i.]2．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝()A．2－3iB．2＋3iC．3＋2iD．3－2iA[∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i.]-7-3．复数3＋ii2(i为虚数单位)的实部等于________．－3[由题可得3＋ii2＝－3－i，－3－i的实部为－3.]4．(1＋i)2－2－i2＋i＝________.－35＋145i[(1＋i)2－2－i2＋i＝2i－2－i25＝－35＋145i.]5．已知复数z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝a＋2i1－i，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值．[解]z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i,z2＝a＋2i1－i＝a＋2i1＋i1－i1＋i＝a＋ai＋2i－22＝a－22＋a＋22i.由于z1和z2互为共轭复数，所以有a－22＝－b－1，a＋22＝b－1，解得a＝－2，b＝1.