2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.2.2 反证法学案 新人教A版选修2-2

-1-2.2.2反证法学习目标核心素养1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点、易混点)2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点)通过反证法的学习，培养学生的逻辑推理的核心素养.反证法的定义及证题的关键思考1：反证法的实质是什么？[提示]反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理，这种说法对吗？为什么？[提示]反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．1．“ab”的反面应是()A．a≠bB．abC．a＝bD．a＝b或ab[答案]D2．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”，假设的内容应是________．[答案]3a≤3b3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．-2-③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．③①②[由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.]4．应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有________．(填序号)①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．①②③[反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．]用反证法证明否定性命题【例1】已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列．求证：a，b，c不成等差数列．[证明]假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0，即a＝c.从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤1．设SA，SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．[证明]假设AC⊥平面SOB，如图，-3-∵直线SO在平面SOB内，∴SO⊥AC.∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圆O.这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．用反证法证明唯一性命题【例2】求证方程2x＝3有且只有一个根．[证明]∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1.若b1－b20，则2b1－b21，这与2b1－b2＝1相矛盾．若b1－b20，则2b1－b21，这也与2b1－b2＝1相矛盾．∴b1－b2＝0，则b1＝b2.∴假设不成立，从而原命题得证．巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．2．求证：两条相交直线有且只有一个交点．[证明]假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点．若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．-4-用反证法证明“至多”“至少”问题[探究问题]1．你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的含义吗？[提示]量词含义至少有一个有n个，其中n≥1至多有一个有0或1个至少有n个大于等于n个2.在反证法证明中，你能说出“至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的反设词吗？[提示]量词反设词至少有一个一个也没有至多有一个至少有两个至少有n个至多有n－1个【例3】已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．[证明]假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：4a2－4－4a＋3＜0，a－12－4a2＜0，2a2＋4×2a＜0，即－32＜a＜12，a＞13或a＜－1，－2＜a＜0.∴－32＜a＜－1，这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．1．(变条件)将本题改为：已知下列三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，如何求实数a的取值范围？[解]若三个方程都没有实根，则-5-16a2－43－4a＜0，a－12－4a2＜0，4a2＋8a＜0，解得－32＜a＜12，a＞13或a＜－1，－2＜a＜0，即－32＜a＜－1，故三个方程至少有一个方程有实根，实数a的取值范围是aa≥－1或a≤－32.2．(变条件)将例题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a的取值范围．[解]假设三个方程都有实数根，则4a2－4－4a＋3≥0，a－12－4a2≥0，2a2＋4×2a≥0，即4a2＋4a－3≥0，3a2＋2a－1≤0，a2＋2a≥0，解得a≤－32或a≥12，－1≤a≤13，a≤－2或a≥0.即a∈.所以三个方程中至多有2个方程有实数根时，实数a的取值范围为R.当命题中出现“至少……”“至多……”“不都……”“都不……”“没有……”“唯一”等指示性词语时，宜用反证法.提醒：对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误.用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．-6-1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是()A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角C[“最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.]2．如果两个实数之和为正数，则这两个数()A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个正数D．两个都是负数C[假设两个数分别为x1，x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.]3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．b与c平行或相交[∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．]4.设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．求证：数列{Sn}不是等比数列．[证明]假设数列{Sn}是等比数列，则S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾．所以数列{Sn}不是等比数列．