2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线

-1-2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质学习目标核心素养1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法．(重点、难点)3.初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质.1.通过由方程研究曲线的性质，培养学生直观想象素养.2.借助由曲线求它的方程，提升学生逻辑推理、数学运算素养.1．解析几何研究的主要问题(1)由曲线求它的方程．(2)利用方程研究曲线的性质．2．求曲线的方程的步骤思考：求曲线方程的步骤是否可以省略．[提示]可以省略．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤“证明”，如有特殊情况，可以适当说明．1．已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－3，0)，B(3，0)，顶点C的轨迹是()A．一条直线B．一条直线去掉一点C．一个点D．两个点B[C的轨迹是线段AB的垂直平分线去掉AB的中点．]2．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC底边AB的中线的方程是()-2-A．x＝0B．x＝0(0≤y≤3)C．y＝0D．y＝0(0≤x≤2)[答案]B3．平面上有三点A(－2，y)，B0，y2，C(x，y)，若AB→⊥BC→，则动点C的轨迹方程为________．y2＝8x(x≠0)[AB→＝2，－y2，BC→＝x，y2，由AB→⊥BC→得2x－y24＝0，即y2＝8x(x≠0)．]由方程研究曲线的性质【例1】写出方程y2－4x－4＝0的曲线的主要性质．[解](1)曲线变化情况：∵y2＝4x＋4≥0，得x≥－1，y可取一切实数，x逐渐增大时，|y|无限增大．∴曲线在直线x＝－1的右侧，向上向下无限伸展．(2)对称性：用－y代y方程不变，故曲线关于x轴对称．(3)截距：令y＝0，得x＝－1；令x＝0得y＝±2，∴曲线的横截距为－1，纵截距为±2.(4)画方程的曲线：列表：x－10123…y0±2±2.83±3.46±4…描点作图如图所示．利用方程研究曲线性质的一般过程-3-1．画出到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹图形．[解]到两坐标轴距离之差等于1的点(x，y)，满足的方程是||x|－|y||＝1，其中以－x代x，或－y代y，方程都不变，所以方程的曲线关于坐标轴对称，同时也关于原点对称，需画出x≥0，y≥0的图形后，利用对称性完成画图，如图.直接法求曲线方程【例2】已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．[思路探究]由条件可知动点满足的关系已确定，只需坐标化再化简即得方程．[解]如图所示，取直线l为x轴，过点F且垂直于直线l的直线为y轴，建立坐标系xOy.设点M(x，y)是曲线上任意一点，作MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集合P＝{M||MF|－|MB|＝2}．由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋y－22－y＝2，①将①式移项后两边平方，得x2＋(y－2)2＝(y＋2)2，化简得y＝18x2.因为曲线在x轴的上方，所以y＞0.虽然原点O的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是y＝18x2(x≠0)．-4-直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．2．一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．[解]设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.则|8－x|＝2x－22＋y－02，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.代入法求曲线的方程[探究问题]1．为什么说“建立平面直角坐标系是解析几何的基础”？[提示]只有建立了坐标系，才有点的坐标，才能把曲线代数化，才能用代数法研究几何问题．2．常见的建系原则有哪些？[提示](1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系．(2)若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系．3．求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？[提示]在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“漏解”或“增解”．【例3】动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．[思路探究]所求动点与已知曲线上动点相关，可通过条件确定两动点的坐标间的关系求得．[解]设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点．∴x＝x0＋32，y＝y02，即x0＝2x－3，y0＝2y，又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1，∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.1．(变换条件)本例中把条件“M和定点B(3,0)连线的中点为P”改为“MP→＝2PB→”，求P-5-点的轨迹方程．[解]设P(x，y)，M(x0，y0)，则MP→＝(x－x0，y－y0)，PB→＝(3－x，－y)，由MP→＝2PB→得x－x0＝3－x×2，y－y0＝－2y，即x0＝3x－6，y0＝3y，又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(3x－6)2＋9y2＝1，∴点P的轨迹方程为(3x－6)2＋9y2＝1.2．(变换条件)本例中把条件“M和定点B(3,0)连线的中点为P”改为“一动点P和定点B(3,0)连线的中点为M”，试求动点P的轨迹方程．[解]设P(x，y)，M(x0，y0)，∵M为PB的中点．∴x0＝x＋32，y0＝y2，又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴x＋322＋y22＝1，即(x＋3)2＋y2＝4，∴P点轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4.代入法求解曲线方程的步骤①设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)；②利用条件求出两动点坐标之间的关系x0＝fx，y，y0＝gx，y；③代入相关动点的轨迹方程；④化简、整理，得所求轨迹方程．其步骤可总结为“一设二找三代四整理”．1．思考辨析(1)依据一个给定的平面图形，选取的坐标系是唯一的．()(2)求轨迹就是求轨迹方程．()(3)到两坐标轴距离之和为a(a＞0)的点M的轨迹方程为|x|＋|y|＝a.()[提示](1)×不唯一．常以得到的曲线方程最简单为标准．-6-(2)×求轨迹方程得出方程即可，求轨迹还要指出方程的曲线是什么图形．(3)√2．在第四象限内，到原点的距离等于2的点M的轨迹方程是()A．x2＋y2＝4B．x2＋y2＝4(x＞0)C．y＝－4－x2D．y＝－4－x2(0＜x＜2)D[排除法，第四象限内满足x＞0，y＜0.故选D.]3．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是()A．y＝2x2B．y＝8x2C．2y＝8x2－1D．2y＝8x2＋1C[设AP中点为(x，y)，则P(2x,2y＋1)在2x2－y＝0上，即2(2x)2－(2y＋1)＝0，∴2y＝8x2－1.]4．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则动点P的轨迹方程是________．(x－1)2＋y2＝2[圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，半径r＝1，则|PB|2＝|PA|2＋r2.∴|PB|2＝2.∴P的轨迹方程为：(x－1)2＋y2＝2.]