2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量的线性运算学案 新人

-1-3．1.1空间向量的线性运算学习目标核心素养1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等概念．(重点)2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律．(重点、易混点)1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生数学抽象素养.2.借助于空间向量的线性运算，提升学生的数学运算素养.1．空间向量的概念(1)在空间中，把具有大小和方向的量叫做向量，向量a的有向线段的长度叫做向量的长度或模．空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作AB→，其模记为|a|或|AB→|.(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量共线向量或平行向量有向线段所在的直线叫做向量的基线．如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量2.空间向量的加、减、数乘运算及其运算律空间向加法a＋b＝OA→＋OB→减法a－b＝OA→－OB→-2-量的运算数乘当λ＞0时，λa＝QP→＝λOA→，当λ＝0时，λa＝0，当λ＜0时，λa＝MN→＝λOA→λ＞0λ＜0加法与数乘运算律(1)加法交换律：a＋b＝b＋a；(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb思考：空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法完全一致吗？[提示]完全一致．1．下列命题中，假命题是()A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B．两个相反向量的和为零向量C．只有零向量的模等于0D．空间中任意两个单位向量必相等D[大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等方向相反的两个向量称为相反向量；任意两个单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等．]2．已知空间四边形ABCD中，AB→＝a，CB→＝b，AD→＝c，则CD→等于()A．a＋b－cB．－a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－cC[CD→＝CB→＋BA→＋AD→＝b－a＋c＝－a＋b＋c，故选C.]3．在单位正方体ABCD­A1B1C1D1中，向量AA1→与CC1→是________向量，向量AC→与C1A1→是________向量．[答案]相等相反空间向量的概念及简单应用【例1】(1)下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反-3-B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中，一定有AB→＋AD→＝AC→B[|a|＝|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定，对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有AB→＋AD→＝AC→，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确．](2)如图所示，以长方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：①试写出与AB→相等的所有向量；②试写出AA1→的相反向量；③若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量AC1→的模．[解]①与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)有A1B1→，DC→及D1C1→共3个．②向量AA1→的相反向量为A1A→，B1B→，C1C→，D1D→.③|AC1→|＝|AB→|2＋|AD→|2＋|AA1→|2＝22＋22＋12＝9＝3.1两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量非零向量的模相等是两个向量相等的必要不充分条件.2熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键.1．给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC→＝A1C1→；③若向量a与向量b的模相等，则a＝b.其中正确命题的序号是________．-4-①②[①正确；②正确，因为AC→与A1C1→的大小和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b不一定相等．综上可知，正确命题为①②.]2．下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a，b满足|a||b|且a，b同向，则ab；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正确命题的序号为()A．①②③B．④C．③④D．①④B[对于①：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②：向量是不能比较大小的，故不正确；对于③：不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．]空间向量的加、减法运算[探究问题]向量加法的三角形法则和平行四边形法则及向量减法的三角形法则有什么特点？[提示](1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因此，它们的加减法运算类似于平面向量的加减法．(2)若两个空间向量的始点相同，则这两个向量即为平面向量．求这两个向量之和时，应优先考虑平行四边形法则．(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点，因此为便于记忆，常把这个和向量叫做“封口向量”，求空间中若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量．【例2】如图，已知长方体ABCD­A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA′→－CB→；(2)AA′→＋AB→＋B′C′→.[思路探究]借助向量运算的三角形法则和平行四边形法则进行运算．[解](1)AA′→－CB→＝AA′→－DA→＝AA′→＋AD→＝AD′→.-5-(2)AA′→＋AB→＋B′C′→＝(AA′→＋AB→)＋B′C′→＝AB′→＋B′C′→＝AC′→.向量AD′→、AC′→如图所示．1．(变结论)利用本例图，化简AA′→＋A′B′→＋B′C′→＋C′A→.[解]结合加法运算AA′→＋A′B′→＝AB′→，AB′→＋B′C′→＝AC′→，AC′→＋C′A→＝0.故AA′→＋A′B′→＋B′C′→＋C′A→＝0.2．(变结论)利用本例图，求证AC→＋AB′→＋AD′→＝2AC′→.[证明]长方体的六个面均为平行四边形．∴AC→＝AB→＋AD→，AB′→＝AB→＋AA′→，AD′→＝AD→＋AA′→，∴AC→＋AB′→＋AD′→＝(AB→＋AD→)＋(AB→＋AA′→)＋(AD→＋AA′→)＝2(AB→＋AD→＋AA′→)．又∵AA′→＝CC′→，AD→＝BC→，∴AB→＋AD→＋AA′→＝AB→＋BC→＋CC′→＝AC→＋CC′→＝AC′→.∴AC→＋AB′→＋AD′→＝2AC′→.(1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An＝A1An→.(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，OB→＋BC→＋CD→＋DE→＋EF→＋FG→＋GH→＋HO→＝0.-6-(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即a－b＝a＋(－b)．(4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律．(5)空间向量加法结合律的证明：如图，(a＋b)＋c＝(OA→＋AB→)＋BC→＝OB→＋BC→＝OC→，a＋(b＋c)＝OA→＋(AB→＋BC→)＝OA→＋AC→＝OC→，所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．数乘向量运算【例3】如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP→；(2)A1N→；(3)MP→＋NC1→.[思路探究]将所求向量置于适当的三角形或多边形中，利用三角形法则、平行四边形法则或首尾相接的方法，将所求向量表示出来，然后化简整理．[解](1)∵P是C1D1的中点，∴AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→＝a＋AD→＋12D1C1→＝a＋c＋12AB→＝a＋c＋12b.(2)∵N是BC的中点，∴A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－a＋b＋12BC→＝－a＋b＋12AD→＝－a＋b＋12c.(3)∵M是AA1的中点，∴MP→＝MA→＋AP→＝12A1A→＋AP→＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c.又NC1→＝NC→＋CC1→＝12BC→＋AA1→＝12AD→＋AA1→＝12c＋a，-7-∴MP→＋NC1→＝12a＋12b＋c＋a＋12c＝32a＋12b＋32c.利用数乘运算进行向量表示的技巧1数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.2明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来.3．如图，已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：(1)OQ→＝PQ→＋xPC→＋yPA→；(2)PA→＝xPO→＋yPQ→＋PD→.[解](1)∵OQ→＝PQ→－PO→＝PQ→－12(PA→＋PC→)＝PQ→－12PA→－12PC→，∴x＝y＝－12.(2)∵PA→＋PC→＝2PO→，∴PA→＝2PO→－PC→.又∵PC→＋PD→＝2PQ→，∴PC→＝2PQ→－PD→.从而有PA→＝2PO→－(2PQ→－PD→)＝2PO→－2PQ→＋PD→.∴x＝2，y＝－2.1．思考辨析(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．()(2)零向量没有方向.()(3)空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．()-8-[提示](1)√(2)×零向量方向任意，但不是没有方向．(3)×既决定向量的大小，又决定向量的方向．2．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，与向量AD→相等的向量共有()A．1个B．2个C．3个D．4个C[向量A1D1→、BC→、B1C1→与AD→相等．]3．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是()A．a＝bB．a＋b为实数0C．a与b方向相同D．|a|＝3D[∵a＝－b且|b|＝3，∴|a|＝|－b|＝3.]4．化简2AB→＋2BC→＋3CD→＋3DA→＋AC→＝________.0[2AB→＋2BC→＋3CD→＋3DA→＋AC→＝2(AB→＋BC→＋CD→＋DA→)＋CD→＋DA→＋AC→＝0＋CA→＋AC→＝0＋0＝0.]