2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.3 两个向量的数量积学案 新人教

-1-3.1.3两个向量的数量积学习目标核心素养1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算律．(重点)3.掌握两个向量数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．(难点、易混点)1.通过两向量的数量积的学习，培养学生的数学运算素养.2.借助于求两向量的夹角、模及判断两向量垂直，提升学生的逻辑推理素养.1．空间向量的夹角如果〈a，b〉＝90°，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.思考：等边△ABC中，AB→与BC→的夹角是多少？[提示]120°2．两个向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)交换律a·b＝b·a分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c-2-3．两个向量的数量积的性质两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|④|a·b|≤|a|·|b|1．下列命题中正确的是()A．(a·b)2＝a2·b2B．|a·b|≤|a||b|C．(a·b)·c＝a·(b·c)D．若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c＝0B[对于A项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2，∴左边≤右边，故A错误．对于C项，数量积不满足结合律，∴C错误．在D中，a·(b－c)＝0，∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，但a·b与a·c不一定等于零，故D错误．对于B项，∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，－1≤cos〈a，b〉≤1，∴|a·b|≤|a||b|，故B正确．]2．已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于()A．14B.14C．4D．2B[∵|a－2b＋3c|2＝(a－2b＋3c)·(a－2b＋3c)＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＝14，∴|a－2b＋3c|＝14.]3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________.120°[∵cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－33×2＝－12.∴〈a，b〉＝120°.]数量积运算【例1】如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求-3-下列向量的数量积：(1)OA→·OB→；(2)EF→·CB→；(3)(OA→＋OB→)·(CA→＋CB→)．[思路探究]根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征．[解](1)正四面体的棱长为1，则|OA→|＝|OB→|＝1.△OAB为等边三角形，∠AOB＝60°，于是：OA→·OB→＝|OA→||OB→|cos〈OA→，OB→〉＝|OA→||OB→|cos∠AOB＝1×1×cos60°＝12.(2)由于E，F分别是OA，OC的中点，所以EF綊12AC，于是EF→·CB→＝|EF→||CB→|cos〈EF→，CB→〉＝12|CA→|·|CB→|cos〈AC→，CB→〉＝12×1×1×cos〈AC→，CB→〉＝12×1×1×cos120°＝－14.(3)(OA→＋OB→)·(CA→＋CB→)＝(OA→＋OB→)·(OA→－OC→＋OB→－OC→)＝(OA→＋OB→)·(OA→＋OB→－2OC→)＝OA→2＋OA→·OB→－2OA→·OC→＋OB→·OA→＋OB→2－2OB→·OC→＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1.-4-1要牢记公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.2在求两个向量夹角时，要注意向量的方向，如〈EF→，CB→〉＝〈AC→，CB→〉＝120°易错写成60°.为避免出错，应结合图形进行计算.1．已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：(1)BC→·ED1→；(2)BF→·AB1→；(3)EF→·FC1→.[解]如图，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)BC→·ED1→＝AD→·(EA1→＋A1D1→)＝AD→·12AA1→－AB→＋AD→＝b·12c－a＋b＝|b|2＝42＝16.(2)BF→·AB1→＝(BA1→＋A1F→)·(AB→＋BB1→)＝(AA1→－AB→＋12AD→)·(AB→＋AA1→)＝c－a＋12b·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.(3)EF→·FC1→＝(EA1→＋A1F→)·(FD1→＋D1C1→)＝12AA1→－AB→＋12AD→·12AD→＋AB→＝12c－a＋12b·12b＋a＝12(－a＋b＋c)·12b＋a＝－12|a|2＋14|b|2＝2.-5-利用数量积求夹角和模[探究问题]1．空间两个向量夹角定义的要点是什么？[提示](1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样．(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起．(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．2．空间向量数量积的性质有什么作用？[提示](1)向量模的应用：式子|a|＝a·a可以解决有关空间长度问题．(2)向量夹角的应用：空间中两条直线(特别是两条异面直线)的夹角，可以通过求出这两个向量的夹角而求得．(3)数量积的应用：两非零向量a，b，若a·b＝0，则两向量对应的直线相互垂直．【例2】(1)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝2，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．(2)如图所示，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC1和BD1的长．[思路探究](1)先求BA1→·AC→，再由夹角公式求cos〈BA1→，AC→〉，并由此确定BA1→与AC→所成角的余弦值．(2)用向量AC1→和BD1→用已知向量AB→、AD→、AA1→表示出来，再用数量积的定义运算．[解](1)∵BA1→＝BA→＋AA1→＝BA→＋BB1→，AC→＝BC→－BA→，且BA→·BC→＝BB1→·BA→＝BB1→·BC→＝0，∴BA1→·AC→＝－BA→2＝－1.又|AC→|＝2，|BA1→|＝1＋2＝3.∴cos〈BA1→，AC→〉＝BA1→·AC→|BA1→||AC→|〉＝90°.]-6-