2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第1课时

-1-第1课时空间向量与平行关系学习目标核心素养1.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点)2.熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)1.通过平面法向量的学习，培养学生数学运算的核心素养．2.借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.1．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量的定义直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？[提示]不唯一，直线的方向向量(平面的法向量)有无数个，它们分别是共线向量．2．空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇒a∥b⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)线面平行设l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0面面平行设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)1．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．(1，2，3)B．(1，3，2)C．(2，1，3)D．(3，2，1)A[AB→＝(2，4，6)＝2(1，2，3)．]2．若平面α，β的一个法向量分别为m＝－16，13，－1，n＝12，－1，3，则()A．α∥βB．α⊥β-2-C．α与β相交但不垂直D．α∥β或α与β重合D[∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．]3．已知AB→＝(－3，1，2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2，4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为()A．AB⊥αB．AB⊂αC．AB与α相交但不垂直D．AB∥αD[因为n·AB→＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n⊥AB→.又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D.]4．若直线l的方向向量a＝(2，2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6，8，4)，则直线l与平面α的位置关系是________．l⊂α或l∥α[∵μ·a＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α.]求平面的法向量【例1】如图，已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCD的一个法向量．[解]以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D12，0，0，S(0，0，1)．(1)∵SA⊥平面ABCD，∴AS→＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量．(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，∴AD⊥平面SAB，-3-∴AD→＝12，0，0是平面SAB的一个法向量．(3)在平面SCD中，DC→＝12，1，0，SC→＝(1，1，－1)．设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥DC→，n⊥SC→，所以n·DC→＝0，n·SC→＝0，得方程组12x＋y＝0，x＋y－z＝0，∴x＝－2y，z＝－y，令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴平面SCD的一个法向量为n＝(2，－1，1)．1．利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB→，AC→.(3)列方程组：由n·AB→＝0，n·AC→＝0，列出方程组．(4)解方程组：n·AB→＝0，n·AC→＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．(6)得结论：得到平面的一个法向量．2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.1．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：-4-(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．[解]设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2)．(1)连接AC(图略)，因为AC⊥平面BDD1B1，所以AC→＝(－2，2，0)为平面BDD1B1的一个法向量．(2)DB→＝(2，2，0)，DE→＝(1，0，2)．设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．∴n·DB→＝0，n·DE→＝0，∴2x＋2y＝0，x＋2z＝0，∴y＝－x，z＝－12x.令x＝2，得y＝－2，z＝－1.∴n＝(2，－2，－1)即为平面BDEF的一个法向量．利用空间向量证明线线平行【例2】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．[解]以点D为坐标原点，分别以DA→，DC→，DD1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E0，0，12，C1(0，1，1)，F1，1，12，∴AE→＝－1，0，12，-5-FC1→＝－1，0，12，EC1→＝0，1，12，AF→＝0，1，12，∴AE→＝FC1→，EC1→＝AF→，∴AE→∥FC1→，EC1→∥AF→，又∵FAE，FEC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四边形AEC1F是平行四边形．1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面．2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．2．长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.[证明]如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标：A(a，0，0)，C1(0，b，c)，E23a，23b，c，Fa，b3，23c.∴FE→＝－a3，b3，c3，AC1→＝(－a，b，c)，∴FE→＝13AC1→.又FE与AC1不共线，∴直线EF∥AC1.利用空间向量证明线面、面面平行[探究问题]在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？[提示]可设几何体的棱长为1或a，再求点的坐标．【例3】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.思路探究：-6-[证明]法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M0，1，12，N12，1，1，于是DA1→＝(1，0，1)，DB→＝(1，1，0)，MN→＝12，0，12.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DA1→，n⊥DB→，即n·DA1→＝x＋z＝0，n·DB→＝x＋y＝0，取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．又MN→·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN→⊥n.∴MN∥平面A1BD.法二：MN→＝C1N→－C1M→＝12C1B1→－12C1C→＝12(D1A1→－D1D→)＝12DA1→，∴MN→∥DA1→，∴MN∥平面A1BD.法三：MN→＝C1N→－C1M→＝12C1B1→－12C1C→＝12DA→－12A1A→＝12()DB→＋BA→－12()A1B→＋BA→＝12DB→－12A1B→.即MN→可用A1B→与DB→线性表示，故MN→与A1B→，DB→是共面向量，故MN∥平面A1BD.1．本例中条件不变，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.[证明]由例题解析知，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，则CD1→＝(0，－1，1)，D1B1→＝(1，1，0)，设平面CB1D1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则m⊥CD1→m⊥D1B1→.∵RPQ，∴PQ∥RS.-7-