2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第2课时

-1-第2课时空间向量与垂直关系学习目标核心素养1.能利用平面法向量证明两个平面垂直．(重点)2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．(重点、难点)借助应用向量证明线面垂直和面面垂直的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？[提示]垂直．1．若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交B[∵n＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.]2．设直线l的方向向量u＝(－2，2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6，12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于()A．4B．－4C．2D．－2B[因为直线l⊥平面α，所以u∥v，则－26＝2－6＝t12，解得t＝－4，故选B.]3．若直线l1的方向向量为u1＝(1，3，2)，直线l2上有两点A(1，0，1)，B(2，－1，2)，则两直线的位置关系是______．-2-l1⊥l2[AB→＝(1，－1，1)，u1·AB→＝1×1－3×1＋2×1＝0，因此l1⊥l2.]4．已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1，0，1)，u2＝(0，2，0)，则平面α，β的位置关系为________．α⊥β[u1·u2＝0，则α⊥β.]应用向量法证明线面垂直【例1】如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.思路探究：法一：通过证明AB1→⊥BA1→，AB1→⊥BD→，得到AB1⊥BA1，AB1⊥BD法二：证明AB1→与平面A1BD的法向量平行．[证明]法一：如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，以OB→，OO1→，OA→分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，3)，A(0，0，3)，B1(1，2，0)．所以AB1→＝(1，2，－3)，BA1→＝(－1，2，3)，BD→＝(－2，1，0)．因为AB1→·BA1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0.AB1→·BD→＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0.所以AB1→⊥BA1→，AB1→⊥BD→，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.法二：建系同方法一．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，-3-则n⊥BA1→n⊥BD→