2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程学案 新人教B

-1-2.2.1双曲线及其标准方程学习目标核心素养1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．(重点)3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1.通过对双曲线定义的学习及标准方程的推导，培养学生的逻辑推理素养.2.借助待定系数法求双曲线的标准方程，提升学生的数学运算素养.1．双曲线的定义2．双曲线的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系式c2＝a2＋b2思考1：双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？[提示]双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中ca，cb，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中ab0，ac，c与b的大小关系不确定．思考2：如何确定双曲线标准方程的类型？-2-[提示]焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．1．若点M在双曲线x216－y24＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|等于()A．2B．4C．8D．12B[双曲线中a2＝16，a＝4,2a＝8，由双曲线定义知||MF1|－|MF2||＝8，又|MF1|＝3|MF2|，所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4.]2．双曲线x210－y22＝1的焦距为()A．32B．42C．33D．43D[解a2＝10，b2＝2，c2＝a2＋b2＝12，c＝23，2c＝43，故选D.]3．已知双曲线中的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________．x225－y224＝1或y225－x224＝1[b2＝c2－a2＝49－25＝24，∴双曲线方程为x225－y224＝1或y225－x224＝1.]双曲线定义的应用[探究问题]1．如何理解双曲线定义中的“大于零且小于|F1F2|”？[提示]①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在；③若常数为零，其余条件不变，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．2．若|MF1|－|MF2|＝|F1F2|，则动点M的轨迹是什么？[提示](1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F1，F2表示双曲线的左、右焦点，①若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；②若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上．(2)双曲线定义的双向运用：-3-①若||MF1|－|MF2||＝2a(02a|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线；②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a.【例1】已知F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32.试求△F1PF2的面积．[思路探究]根据双曲线的定义及余弦定理求出∠F1PF2即可．[解]由x29－y216＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线定义及P是双曲线左支上的点得|PF1|－|PF2|＝－6，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，又∵|PF1|·|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝100，由余弦定理得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝16.1．(变换条件)若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离．[解]由x29－y216＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5，由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝6，即|PF1|－|PF2|＝±6，∴|PF2|＝10±6，∴点P到焦点F2的距离为4或16.2．(变换条件)若把本例条件“|PF1|·|PF2|＝32”换成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，其他条件不变，试求△F1PF2的面积．[解]由x29－y216＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5，由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，可设|PF1|＝2k，|PF2|＝5k.由|PF2|－|PF1|＝6可得k＝2，∴|PF1|＝4，|PF2|＝10，-4-由余弦定理得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝16＋100－1002×4×10＝15，∴sin∠F1PF2＝265，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝12×4×10×265＝86.双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有1定义：|r1－r2|＝2a.2余弦公式：4c2＝r21＋r22－2r1r2cosθ.3面积公式：S△PF1F2＝12r1r2sinθ.一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.求双曲线的标准方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a＝4，经过点A1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．[思路探究]先设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b的方程组求解．[解](1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为x216－y2b2＝1(b＞0)，把A点的坐标代入，得b2＝1609×－1615＜0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为y216－x2b2＝1(b＞0)，把A点的坐标代入，得b2＝9，∴所求双曲线的标准方程为y216－x29＝1.(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn0)，∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，-5-∴9m＋0＝1，36m＋9n＝1，解得m＝19，n＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x29－y23＝1.(1)求双曲线标准方程的两个关注点(2)待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤①定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能．②设方程：根据焦点位置，设其方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，焦点位置不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．③寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(m，n)的方程组．④得方程组：解方程组，将a，b(m，n)代入所设方程即可得(求)标准方程．提醒：求标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式．1．根据条件求双曲线的标准方程．(1)c＝6，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上；(2)与椭圆x225＋y25＝1共焦点且过点(32，2)．[解](1)设双曲线标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，∵c＝6，∴b2＝c2－a2＝6－a2.由题意知25a2－4b2＝1，∴25a2－46－a2＝1，解得a2＝5或a2＝30(舍)．∴b2＝1.∴双曲线的标准方程为x25－y2＝1.-6-(2)椭圆x225＋y25＝1的焦点坐标为(25，0)，(－25，0)．依题意，则所求双曲线焦点在x轴上，可以设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则a2＋b2＝20.又∵双曲线过点(32，2)，∴18a2－2b2＝1.∴a2＝20－210，b2＝210.∴所求双曲线的标准方程为x220－210－y2210＝1.与双曲线有关的轨迹问题【例3】如图，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．[解]以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－22，0)，B(22，0).由正弦定理，得sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R(R为△ABC的外接圆半径)．∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2a＋c＝2b，即b－a＝c2，从而有|CA|－|CB|＝12|AB|＝22＜|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．∵a＝2，c＝22，∴b2＝c2－a2＝6，即所求轨迹方程为x22－y26＝1(x＞2)．求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：1列出等量关系，化简得到方程；2寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程.求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：1双曲线的焦点所在的坐标轴；2检验所求的轨-7-迹对应的是双曲线的一支还是两支.2．如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解]圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1；圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝32，c＝5，于是b2＝c2－a2＝914.∴动圆圆心M的轨迹方程为x294－y2914＝1x≤－32.1．思考辨析(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()(2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a0，b0且a≠b．()(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是ab．()[提示](1)×差的绝对值是常数，且0＜2a＜|F1F2|才是双曲线．(2)×a与b大小关系不定，a和b相等时叫等轴双曲线．(3)×2．“ab0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的()-8-A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[当方程表示双曲线时，一定有ab0，反之，当ab0时，若c＝0，则方程不表示双曲线．]3．若方程x2m－1＋y2m2－4＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是()A．(1,2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－2,2)C[由题意，方程可化为y2m2－4－x21－m＝3，∴m2－4＞0，1－m＞0，解得：m＜－2.]4．已知动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，则动圆圆心M的轨迹方程是________．x24－y25＝1(x≥2)[设动圆M的半径为r.因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切，所以|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1.相减得|MC1|－|MC2|＝4.又因为C1(－3,0)，C2(3,0)，并且|C1C2|＝6＞4，所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，且有a＝2，c＝3.所以b2＝5，所求的轨迹方程为x24－y25＝1(x≥2)．]5．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)过点P3，154，Q－163，5且焦点在坐标轴上；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．[解](1)设双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，∵双曲线过P3，154，Q－163，5，∴9m＋22516n＝1，2569m＋25n＝1，解得m＝－116，n＝19.-9-∴所求双曲线方程为y29－x216＝1.(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意易求得c＝25.又双曲线过点(32，2)，∴322a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝(25)2，∴a2＝12，b2＝8.故