2019-2020学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.3.2 利用导数研究函数的极值（二）学案

-1-3.3.2利用导数研究函数的极值(二)学习目标核心素养1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．(重点、难点)通过学习利用导数在闭区间上求函数的最值，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值(1)取得最值的条件：在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线．(2)结论：函数y＝f(x)必有最大值和最小值，若函数在(a，b)上是可导的，该函数的最值必在极值点或区间端点取得．2．求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点．(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．思考：函数在闭区间上的极大值就是最大值吗？极小值就是最小值吗？[提示]不一定．函数在闭区间上的极大值不一定是最大值，还要与端点处的函数值比较，最大的即是最大值，同理，闭区间上的极小值也不一定是最小值．1．如图所示，函数f(x)的导函数的图象是一条直线，则()A．函数f(x)没有最大值也没有最小值B．函数f(x)有最大值，没有最小值C．函数f(x)没有最大值，有最小值D．函数f(x)有最大值也有最小值C[由函数图象可知，函数f(x)只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值．]2．函数y＝x－sinx，x∈π2，π的最大值是()-2-A．π－1B．π2－1C．πD．π＋1C[在π2，π上y′＝1－cosx≥0，∴y＝x－sinx为增函数，∴当x＝π时，ymax＝π.]3．函数y＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为()A．293B．292C．492D．38A[y′＝1－3x2＝0，∴x＝±33.当0＜x＜33时，y′＞0；当33＜x＜1时，y′＜0.所以当x＝33时，y极大值＝293；当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0.所以当x＝33时，ymax＝293.]4．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a＝________.－12[y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1，所以函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若a－1，则最大为f(a)＝－a2－2a＋3＝154，解得a＝－12a＝－32舍去.若a≤－1，则最大为f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠154.]求函数的最值【例1】求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]；-3-(2)f(x)＝12x＋sinx，x∈[0,2π]．[思路探究]求f′x→令f′x＝0得到相应的x的值→列表→确定极值点→求极值与端点值并比较大小→确定最值[解](1)f(x)＝2x3－12x，f′(x)＝6x2－12＝6(x2－2)，令f′(x)＝0，∴x2－2＝0，∴x1＝－2，x2＝2.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状态如下表：x－1(－1，2)2(2，3)3f′(x)－0＋f(x)10↘－82↗18因为f(－1)＝10，f(3)＝18，f(2)＝－82，所以当x＝2时，f(x)取得最小值－82；当x＝3时，f(x)取得最大值18.(2)f′(x)＝12＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝2π3或x＝4π3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x00，2π32π32π3，4π34π34π3，2π2πf′(x)＋0－0＋f(x)0↗π3＋32↘23π－32↗π∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.求函数在闭区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：1对函数进行准确求导；2研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；3比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论.-4-1．求下列各函数的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．[解](1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表x－2(－2,0)0(0,2)2(2,4)4f′(x)＋0－0＋f(x)－37↗极大值3↘极小值－5↗35∴当x＝4时，f(x)取最大值35.当x＝－2时，f(x)取最小值－37.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.含参数的函数最值问题[探究问题]1．在闭区间上函数的图象连续不断是函数有最值的充要条件吗？[提示]闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有惟一的极值，则此极值必是函数的最值．2．函数最值与极值有何区别与联系？[提示](1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个．(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．【例2】已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．[思路探究]先求导，再求极值，最后分类讨论来确定最值．-5-[解]因为f(x)＝ex－ax2－bx－1，所以g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b，又g′(x)＝ex－2a，因为x∈[0,1]，所以：1≤ex≤e，(1)若a≤12，则2a≤1，g′(x)＝ex－2a≥0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，g(x)min＝g(0)＝1－b.(2)若12ae2，则12ae，于是当0xln(2a)时，g′(x)＝ex－2a＜0，当ln(2a)＜x＜1时，g′(x)＝ex－2a＞0，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间[ln(2a)，1]上单调递增，g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.(3)若a≥e2，则2a≥e，g′(x)＝ex－2a≤0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.综上所述，当a≤12时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min＝g(0)＝1－b；当12＜a＜e2时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；当a≥e2时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.1．(变换条件)若a＝1，b＝－2，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．[解]因为a＝1，b＝－2，g(x)＝f′(x)＝ex－2x＋2，又g′(x)＝ex－2，令g′(x)＝0，因为x∈[0,1]，解得x＝ln2，已知当x＝ln2时，函数取极小值，也是最小值，故g(x)min＝g(ln2)＝2－2ln2＋2＝4－2ln2.-6-2．(改变条件和问法)当b＝0时，若函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为0，求a的值．[解]当b＝0时，因为f(x)＝ex－ax2－1，所以g(x)＝f′(x)＝ex－2ax，又g′(x)＝ex－2a，因为x∈[0,1]，所以1≤ex≤e，(1)若a≤12，则2a≤1，g′(x)＝ex－2a≥0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，g(x)min＝g(0)＝1，不符合题意；(2)若12ae2，则12ae，于是当0xln(2a)时，g′(x)＝ex－2a＜0，当ln(2a)x1时，g′(x)＝ex－2a＞0，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间[ln(2a)，1]上单调递增，g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)＝0，解得a＝e2不符合题意，舍去；(3)若a≥e2，则2a≥e，g′(x)＝ex－2a≤0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，g(x)min＝g(1)＝e－2a＝0，解得a＝e2.综上所述，a＝e2.对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.提醒：由f′x＝0得到根x0，是否在[a，b]内不明确时要分类讨论.函数最值的应用【例3】已知函数f(x)＝xlnx.-7-(1)若函数g(x)＝f(x)＋ax在区间[e2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥－x2＋mx－32恒成立，求实数m的最大值．[解](1)由题意得g′(x)＝f′(x)＋a＝lnx＋a＋1，∵函数g(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数，∴当x∈[e2，＋∞)时，g′(x)≥0，即lnx＋a＋1≥0在[e2，＋∞)上恒成立，∴a≥－1－lnx，令h(x)＝－lnx－1，当x∈[e2，＋∞)时，lnx∈[2，＋∞)，∴h(x)∈(－∞，－3]，∴a的取值范围是[－3，＋∞)．(2)∵2f(x)≥－x2＋mx－3，即mx≤2xlnx＋x2＋3，又x＞0，∴m≤2xlnx＋x2＋3x，令t(x)＝2xlnx＋x2＋3x＝2lnx＋x＋3x，∴t′(x)＝2x＋1－3x2＝x2＋2x－3x2＝x＋3x－1x2，令t′(x)＝0得x＝1或－3(舍)．当x∈(0,1)时，t′(x)0，t(x)在(0,1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，t′(x)0，t(x)在(1，＋∞)上单调递增．t(x)min＝t(1)＝4，∴m≤t(x)min＝4，即m的最大值为4.1“恒成立”问题向最值问题转化是一种常用的解决“恒成立”问题的方法.一般地，可采用分离参数法进行转化.λ≥fx恒成立⇔λ≥[fx]max；λ≤fx恒成立⇔λ≤[fx]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.2此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”.2．设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)．-8-(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)1a对任意x0成立．[解](1)由题设知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x，所以g(x)＝lnx＋1x，所以g′(x)＝x－1x2.令g′(x)＝0，得x＝1，当x∈(0,1)时，g′(x)0，故(0,1)是g(x)的单调递减区间；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)0，故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间．因此x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.(2)因为g(a)－g(x)1a对任意x0成立，即lnag(x)对任意x0成立．由(1)知，g(x)的最小值为1，所以lna1，解得0ae，即a的取值范围为(0，e)．1．思考辨析(1)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(2)函数f(x)只有一个极小值点，则函数f(x)的极小值也是最小值．()(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于0，则f(x)＞g(x)．()[提示](1)√(2)×不一定．最小值也有可能在区间端点处取得．(3)√2．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M，N，则M－N的值为()A．2B．4C．18D．20D[f′(x)＝3x2－3