2019-2020学年高中数学 第2讲 证明不等式的基本方法 1 比较法学案 新人教A版选修4-5

-1-一比较法学习目标：1.理解比较法证明不等式的依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．(重点)3.通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．(难点)教材整理1作差比较法阅读教材P21～P22例2，完成下列问题．1．理论依据：①a＞b⇔a－b＞0；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔a－b＜0.2．定义：要证明a＞b，转化为证明a－b＞0，这种方法称为作差比较法．3．步骤：①作差；②变形；③判断符号；④下结论．若x，y∈R，记ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则()A．ω＞uB．ω＜uC．ω≥uD．无法确定C[∵ω－u＝x2－xy＋y2＝x－y22＋3y24≥0，∴ω≥u.]教材整理2作商比较法阅读教材P22～P23“习题”以上部分，完成下列问题．1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔ab＞1；②a＜b⇔ab＜1；③a＝b⇔ab＝1.2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明ab＞1，这种方法称为作商比较法．3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．下列命题：①当b＞0时，a＞b⇔ab＞1；②当b＞0时，a＜b⇔ab＜1；③当a＞0，b＞0时，ab＞1⇔a＞b；④当ab＞0时，ab＞1⇔a＞b.其中真命题是()-2-A．①②③B．①②④C．④D．①②③④A[由不等式的性质，①②③正确．当ab＞0时(若b＜0，a＜0)，ab＞1与a＞b不等价，④错．]作商比较法证明不等式【例1】已知a＞0，b＞0且a≠b，求证：aabb＞.[精彩点拨]→作商变形→与1比较大小→下结论1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式．2．运用a＞b⇔ab＞1证明不等式时，一定注意b＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．1．已知m，n∈R＋，求证：m＋n2≥m＋nmn·nm.[证明]因为m，n∈R＋，-3-则：①当mn0时，mn1，m－n0，则ω1.②当m＝n时，ω＝1.③当nm0时，0mn1，m－n0，则ω1.故对任意的m，n∈R＋都有ω≥1.，所以m＋n2≥m＋nmn·nm.比较法的实际应用【例2】甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？[精彩点拨]设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了．[自主解答]设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，依题意有：t12m＋t12n＝s，s2m＋s2n＝t2.∴t1＝2sm＋n，t2＝sm＋n2mn，∴t1－t2＝2sm＋n－sm＋n2mn＝s[4mn－m＋n2]2mnm＋n＝－sm－n22mnm＋n.其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2＜0，即t1＜t2，从而知甲比乙先到达指定地点．1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键．-4-2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断．2．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？[解]设截面的周长为l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为π·l2π2，截面是正方形的水管的截面面积为l42.∵π·l2π2－l42＝l241π－14＝4－πl216π.由于l＞0,0＜π＜4，∴4－πl216π＞0，∴π·l2π2＞l42.因此，通过水管放水，当流速相同时，如果水管的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．作差比较法[探究问题]作差法遵循什么步骤？适用于哪些类型？[提示]“作差法”的理论依据是实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系：“a＞b⇔a－b＞0，a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b＜0”，其一般步骤为“作差→变形→判号→定论”．其中变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或一个常数与几个平方和的形式，或几个因式的积的形式等．当所得的“差式”是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．作差法一般用于不等式的两边是多项式或分式．【例3】已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.[精彩点拨]此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．[自主解答]法一∵a2＋b2－ab－a－b＋1＝12[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.-5-法二a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1，对于a的二次三项式，Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少．2．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“Δ”判定符号．3．已知a＞b＞c，证明：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.[证明]∵a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－bc2)＋(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a)＝(a－c)(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)．∵a＞b＞c，∴a－c＞0，a－b＞0，b－c＞0，∴(a－c)(a－b)(b－c)＞0，即a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是()A．t＞sB．t≥sC．t＜sD．t≤sD[s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.]2．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是()A．P＞QB．P＜QC．P＝QD．大小不确定-6-A[P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaa3＋1a2＋1.当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，则0＜a3＋1a2＋1＜1，∴logaa3＋1a2＋1＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，a3＋1a2＋1＞1，∴logaa3＋1a2＋1＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.综上总有P＞Q，故选A.]3．设a，b，m均为正数，且ba＜b＋ma＋m，则a与b的大小关系是________．[解析]b＋ma＋m－ba＝ma－baa＋m＞0.又a，b，m为正数，∴a(a＋m)＞0，m＞0，因此a－b＞0.即a＞b.[答案]a＞b4．设a＞b＞0，x＝a＋b－a，y＝a－a－b，则x，y的大小关系是x________y.[解析]∵xy＝a＋b－aa－a－b＝a＋a－ba＋a＋b＜a＋a＋ba＋a＋b＝1，且x＞0，y＞0，∴x＜y.[答案]＜5．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.[证明]2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0,从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.