2019-2020学年高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式 2 一般形式的柯西不等式学案 新人教

-1-二一般形式的柯西不等式学习目标：1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．(重点)2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．(重点、难点)教材整理1三维形式的柯西不等式阅读教材P37～P38“探究”以上部分，完成下列问题．设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a21＋a22＋a23)·(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．已知x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是()A．1B.13C.23D．2B[根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝13(12＋12＋12)·(x2＋y2＋z2)≥13(1×x＋1×y＋1×z)2＝13(x＋y＋z)2＝13.]教材整理2一般形式的柯西不等式阅读教材P38～P40，完成下列问题．设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．已知a21＋a22＋…＋a2n＝1，x21＋x22＋…＋x2n＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是()A．1B．2C．3D．4A[(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a21＋a22＋…＋a2n)(x21＋x22＋…＋x2n)＝1×1＝1，当且仅当x1a1＝x2a2＝…＝xnan＝1时取等号，∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.]-2-利用柯西不等式求最值【例1】已知a，b，c∈(0，＋∞)，1a＋2b＋3c＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．[精彩点拨]由于1a＋2b＋3c＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．[自主解答]∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴1a＋2b＋3c·(a＋2b＋3c)＝1a2＋2b2＋3c2[(a)2＋(2b)2＋(3c)2]≥1a·a＋2b·2b＋3c·3c2＝(1＋2＋3)2＝36.又1a＋2b＋3c＝2，∴a＋2b＋3c≥18，当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立，综上，当a＝b＝c＝3时，a＋2b＋3c取得最小值18.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．1．已知x＋4y＋9z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值．[解]由柯西不等式，知(x＋4y＋9z)2≤(12＋42＋92)(x2＋y2＋z2)＝98(x2＋y2＋z2)．又x＋4y＋9z＝1，∴x2＋y2＋z2≥198，(*)当且仅当x＝y4＝z9时，等号成立，∴x＝198，y＝249，z＝998时，(*)取等号．因此，x2＋y2＋z2的最小值为198.运用柯西不等式求参数的取值范围-3-【例2】已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式1x＋y＋1y＋z＋1z＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围．[精彩点拨]“恒成立”问题需求1x＋y＋1y＋z＋1z＋x的最大值，设法应用柯西不等式求最值．[自主解答]∵x0，y0，z0.且x＋y＋z＝xyz.∴1yz＋1xz＋1xy＝1.又1x＋y＋1y＋z＋1z＋x≤121xy＋1yz＋1zx＝121·1xy＋1·1yz＋1·1zx≤1212＋12＋121xy＋1yz＋1zx12＝32，当且仅当x＝y＝z，即x＝y＝z＝3时等号成立．∴1x＋y＋1y＋z＋1z＋x的最大值为32.故1x＋y＋1y＋z＋1z＋x≤λ恒成立时，应有λ≥32.因此λ的取值范围是32，＋∞.应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的取值范围．[解]由a＋b＋c＋d＝3，得b＋c＋d＝3－a，由a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，得2b2＋3c2＋6d2＝5－a2，(2b2＋3c2＋6d2)12＋13＋16≥(b＋c＋d)2，-4-即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.由条件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，所以实数a的取值范围是[1,2].利用柯西不等式证明不等式[探究问题]在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？[提示]不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．【例3】已知a，b，c∈R＋，求证：ab＋bc＋caba＋cb＋ac≥9.[精彩点拨]对应三维形式的柯西不等式，a1＝ab，a2＝bc，a3＝ca，b1＝ba，b2＝cb，b3＝ac，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．[自主解答]∵a，b，c∈R＋，由柯西不等式，知ab＋bc＋caba＋cb＋ac＝ab2＋bc2＋ca2×ba2＋cb2＋ac2≥ab×ba＋bc×cb＋ca×ac2＝(1＋1＋1)2＝9，∴ab＋bc＋caba＋cb＋ac≥9.1．当ai，bi是正数时，柯西不等式变形为(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．3．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且1a＋12b＋13c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.[解](1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.-5-由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)证明：由(1)知1a＋12b＋13c＝1.又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)1a＋12b＋13c≥a·1a＋2b·12b＋3c·13c2＝9.1．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为()A．18B．6C．－18D．12C[|a·b|≤|a||b|，∴|a·b|≤18.∴－18≤a·b≤18，当a，b反向时，a·b最小，最小值为－18.]2．若a21＋a22＋…＋a2n＝1，b21＋b22＋…＋b2n＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的取值范围是()A．(－∞，2)B．[－2,2]C．(－∞，2]D．[－1,1]B[∵(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4，∴|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|≤2，即－2≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2，当且仅当ai＝12bi(i＝1,2，…，n)时，右边等号成立；当且仅当ai＝－12bi(i＝1,2，…，n)时，左边等号成立，故选B.]3．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________．[解析]根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为5.-6-[答案]54．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)4a＋9b＋36c的最小值为________．[解析]由a，b，c为正数，∴(a＋b＋c)4a＋9b＋36c＝[(a)2＋(b)2＋(c)2]2a2＋＋3b2＋6c2≥a·2a＋b·3b＋c·6c2＝121，当且仅当a2＝b3＝c6＝k(k0)时等号成立．故(a＋b＋c)4a＋9b＋36c的最小值是121.[答案]1215．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．[解]由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2.∵x＋2y＋z＝1，∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥13.当且仅当x＝2y＝z＝13，即x＝13，y＝16，z＝13时等号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为13.