2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性 第1课时 函数的奇偶性教

1第1课时函数的奇偶性[目标]1.了解函数奇偶性的含义；2.掌握判断函数奇偶性的方法，培养逻辑推理核心素养；3.了解奇、偶函数的图象的对称性，培养直观想象能力．[重点]掌握判断函数奇偶性的方法．[难点]奇偶性的含义及判断.知识点一偶函数、奇函数的概念[填一填]设函数f(x)的定义域为D，1．偶函数：对任意x∈D，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．2．奇函数：对任意x∈D，都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．[答一答]1．奇偶性定义中的“任意”可以省略吗？提示：不能省略．如函数y＝x2，x∈[－2,3]，有f(－2)＝4＝f(2)，f(－1)＝f(1)，但不能因此就说函数y＝x2，x∈[－2，3]是偶函数，因为f(－3)是没有定义的．从这个意义上来说，任意两字实则强调的是函数的定义域一定要关于原点对称．这个条件是必不可少的．抛开了这个条件去讨论函数的奇偶性是毫无意义的．也就是说在讨论一个函数的奇偶性之前，要先探讨函数的定义域．2．从奇偶函数的定义来考虑，若对于奇(偶)函数定义域内的任意一个自变量x，它的相反数－x也在定义域内吗？由此得到什么结论？y＝x2，x∈[－1,1)是偶函数吗？提示：在函数的定义域内，奇(偶)函数的定义域是对称的．y＝x2，x∈[－1,1)不是偶函数，原因是f(－1)≠f(1)．(f(1)不存在)．3．若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)等于什么？提示：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，f(0)＝0.2知识点二偶函数、奇函数的图象特征[填一填]1．偶函数的图象关于y轴对称．2．奇函数的图象关于原点对称．[答一答]4．一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数吗？函数图象关于原点对称呢？提示：若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数；图象关于原点对称，则这个函数是奇函数．5．如图是偶函数f(x)在y轴右侧部分的图象，试画出函数f(x)在y轴左侧部分的图象．提示：利用偶函数的图象关于y轴对称的特点，可作出函数y＝f(x)在y轴左侧部分的图象．如图所示．类型一判断函数的奇偶性[例1]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝1－x2＋x2－1；(2)f(x)＝2x2＋xx＋1；3(3)f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a∈R)；(4)f(x)＝1－x2|x＋2|－2.[分析]首先确定函数的定义域是否关于原点对称，然后化简解析式，验证f(x)与f(－x)的关系．[解](1)函数f(x)＝1－x2＋x2－1的定义域为{－1,1}，关于原点对称，此时f(x)＝0，所以函数f(x)＝1－x2＋x2－1既是奇函数又是偶函数．(2)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(3)函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．①当a≠0时，f(－x)＝|－x＋a|－|－x－a|＝|x－a|－|x＋a|＝－(|x＋a|－|x－a|)＝－f(x)；②当a＝0时，f(x)＝|x＋a|－|x－a|＝|x|－|x|＝0.综上，当a≠0时，函数f(x)为奇函数；当a＝0时，函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(4)由1－x2≥0，得－1≤x≤1.由|x＋2|－2≠0，得x≠0，且x≠－4.故函数f(x)的定义域是[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．显然x∈[－1,0)∪(0,1]时，x＋20.则f(x)＝1－x2|x＋2|－2＝1－x2x.∵f(－x)＝1－－x2－x＝－1－x2x＝－f(x)，∴f(x)＝1－x2|x＋2|－2是奇函数．1对复杂的函数解析式，要合理、恰当地变形，向有利于判断的方向进行，直到判断出其奇偶性为止.2当函数中含有待定系数时，要注意对其进行分类讨论.3因为函数的定义域是否关于原点对称是判断函数奇偶性的前提，所以判断函数的奇偶性时，应先判断函数的定义域是否关于原点对称.[变式训练1](1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(D)4A．y＝1＋x2B．y＝x＋1xC．y＝x2＋1x2D．y＝x＋x2解析：A，C选项是偶函数，B选项是奇函数，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．∴选D.(2)判断函数f(x)＝x1－x，x0，x1＋x，x0的奇偶性．解：函数的定义域关于原点对称．当x0时，－x0，f(－x)＝－x[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)．当x0时，－x0，f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]＝－x(1－x)＝－f(x)．∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．类型二函数奇偶性的图象特征[例2](1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)0的x的取值范围是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,2)(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)0的解集是________．[答案](1)D(2){x|－2x0或2x≤5}[解析](1)由f(x)在(－∞，0]上是减函数，又偶函数的图象关于y轴对称知，f(x)在[0，＋∞)上是增函数．又由f(2)＝0知，函数图象过点(2,0)．故作符合题设条件的示意图如图(1)，由图象知使f(x)0的x的取值范围为(－2,2)，故选D.5(2)由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域[－5，5]上的图象如图(2)，由图可知不等式f(x)0的解集为{x|－2x0或2x≤5}．已知函数的奇偶性及部分图象，根据对称性可补出另一部分图象.奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反.[变式训练2]已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是(－∞，_1]∪[3,_＋∞)．解析：由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3,＋∞)．类型三利用函数的奇偶性求参数[例3](1)已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是()A．4B．3C．2D．1(2)设函数f(x)＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝________.[答案](1)C(2)－1[解析](1)因为函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即x2＋(2－m)x＋m2＋12＝(－x)2－(2－m)x＋m2＋12，即4－2m＝0，所以m＝2.(2)法1：(定义法)由已知f(－x)＝－f(x)，即－x＋1－x＋a－x＝－x＋1x＋ax.显然x≠0得，x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.法2：(特值法)由f(x)为奇函数得f(－1)＝－f(1)，6即－1＋1－1＋a－1＝－1＋11＋a1，整理得a＝－1.由函数的奇偶性求参数应注意两点1函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.2利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数.[变式训练3](1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝13，b＝0；(2)已知y＝f(x)是奇函数，当x0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为5.解析：(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝13.又函数f(x)＝13x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.(2)因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a×(－3)＝－6，解得a＝5.1．f(x)＝x3＋1x的图象关于(A)A．原点对称B．y轴对称C．y＝x对称D．y＝－x对称解析：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋1－x＝－x3－1x＝－(x3＋1x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∴其图象关于原点对称．2．函数f(x)＝x的奇偶性为(D)A．奇函数7B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：函数f(x)＝x的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数．3．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝0.解析：∵f(x)＝f(－x)，∴x2－|x＋a|＝x2－|－x＋a|.∴|x＋a|＝|x－a|，平方得4ax＝0恒成立．∴a＝0.4．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－1)＝2，则f(0)＋f(1)＝－2.解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝－2，∴f(0)＋f(1)＝0－2＝－2.5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋1，试求f(x)的解析式．解：当x0时，－x0，此时f(x)＝f(－x)＝2－x＋1，所以f(x)＝2x＋1，x≥0，2－x＋1，x0，即f(x)＝2|x|＋1.——本课须掌握的三大问题1．定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个条件，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔f－xfx＝±1(f(x)≠0)．3．函数奇偶性的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．8(2)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．学习至此，请完成课时作业12学科素养培优精品微课堂抽象函数的奇偶性开讲啦对于抽象函数奇偶性的判断，由于无具体的解析式，要充分利用给定的函数方程关系式，对变量进行赋值，使其变为含有f(x)，f(－x)的式子．再利用奇偶性的定义加以判断．[典例]函数f(x)，x∈R，若对任意实数a，b，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数．[证明]令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.又令a＝－x，b＝x，代入f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(－x＋x)＝f(－x)＋f(x)．即f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．[名师点评](1)要善于对所给的关系式进行赋值．(2)变形要有目的性，要以“f(－x)与f(x)的关系”为目标进行化简和变形．[对应训练]若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是(C)A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)＋1为奇函数D．f(x)＋1为偶函数解析：令x1＝x2＝0，得f(0)＝2f(0)＋1，所以f(0)＝－1.令x2＝－x1，得f(0)＝f(x1)＋f(－x1)＋1，即f(－x1)＋1＝－f(x1)－1，所以f(x)＋1为奇函数．9