2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.1.1 指数与指数幂的运算 第2课时

1第2课时指数幂及运算[目标]1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化；2.掌握有理数指数幂的运算性质．[重点]根式与分数指数幂的互化．[难点]运用有理数指数幂运算性质进行化简、求值.知识点一分数指数幂的意义[填一填][答一答]提示：2．负数也有分数指数幂吗？提示：2知识点二有理数指数幂的运算性质[填一填](1)aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．[答一答]3．在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定a0?提示：(1)若a＝0，∵0的负数指数幂无意义，∴(ab)r＝ar·br，当r0时不成立，∴a≠0.(2)若a0，(ar)s＝ars也不一定成立，∴a0时不成立．因此规定a0.4．若a∈R，α、β∈Q，(aα)β一定等于(aβ)α吗？试举例说明．提示：知识点三无理数指数幂[填一填]一般地，无理数指数幂aα(a0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．3[答一答]5．为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？提示：底数大于零是必要的，否则会造成混乱，如a＝－1，则(－1)α是1还是－1就无法确定了，规定后就清楚了．类型一根式与分数指数幂的互化[例1]将下列根式化为分数指数幂的形式：[解]4[变式训练1]用分数指数幂表示下列各式(a0，b0)：(1)3a·4a；(2)aaa；(3)3a2·a3；(4)(3a)2·ab3.解：类型二利用分数指数幂的性质化简与求值[例2]计算下列各式：5[解]1进行指数幂运算的一般方法为化负数为正数，化根式为分数指数幂，化小数为分数.2一般情况下，指数的底数是大于0的，但具体题目要具体对待，一定要注意底数的正负.[变式训练2]计算或化简下列各式(其中式子中的字母均为正数)．解：6类型三条件因式的化简与求值[解](1)得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.7解：1.3a·6－a等于(A)A．－－aB．－aC.－aD.a解析：由已知，得a≤0，则3a·6－a＝＝－－a，故选A.82．计算－0.01－0.5＋0.2－2－(2－3)－1＋(10－3)0的结果为(B)A．15B．17C．35D．37解析：解析：解析：解：∴x＋x－1＝14，∴x2＋2＋x－2＝196，∴x2＋x－2＝194，∴原式＝14＋4194－200＝－3.——本课须掌握的问题9根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．学习至此，请完成课时作业15指数幂与常用乘法公式的综合问题开讲啦指数幂常与平方差、立方和(差)以及完全平方公式相结合，达成公式变形．熟练运用公式变形，可使题目快速巧妙地解决．[典例]化简下列各式(x0，y0)：[分析]善于根据题目特点利用平方差公式、立方差、立方和公式化简．[解]10[名师点评]对于分式的化简求值，我们应着重掌握乘法公式在分数指数幂中的应用，并能灵活运用乘法公式，熟记并灵活使用下列常用公式：①a2－b2＝(a－b)(a＋b)；②a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)；③a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)．证明：11