2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点教案 新人教A版

13．1.1方程的根与函数的零点[目标]1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系；2.会求函数的零点；3.掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个数．[重点]函数零点的概念以及函数零点的求法．[难点]对函数零点的判断方法的理解及应用.知识点一函数的零点[填一填]对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．[答一答]1．函数的零点是点吗？如何求函数的零点？提示：函数的零点不是点，是一个实数；由函数的零点定义可知，求函数的零点可通过解方程f(x)＝0得到．2．当二次函数通过零点时，函数值一定变号吗？提示：不一定．如下图，x0是函数的零点，当函数通过零点时，函数值不变号．知识点二方程的根、函数的零点、图象之间的关系2[填一填]方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．[答一答]3．怎样理解方程的根、函数的零点、图象之间的关系？提示：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．所以，函数y＝f(x)的图象与x轴有几个交点，函数y＝f(x)就有几个零点，方程f(x)＝0就有几个解．知识点三函数零点的存在性定理[填一填]如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[答一答]4．若函数y＝f(x)满足在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在(a，b)内的零点唯一吗？提示：不一定．如f(x)＝x3－x在区间[－2,2]上有f(2)·f(－2)0，但f(x)在(－2,2)内有三个零点－1，0,1；如f(x)＝x＋1，在区间[－2,0]上有f(－2)·f(0)0，在(－2，0)内只有一个零点－1.5．若函数y＝f(x)满足在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，是不是说函数y＝f(x)在(a，b)内没有零点？提示：y＝f(x)在(a，b)内也可能有零点．如f(x)＝x2－1，在区间[－2,2]上有f(－2)f(2)0，但在(－2,2)内有两个零点－1,1.类型一求函数的零点[例1](1)求函数f(x)＝x2－x－2的零点；(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．3[解](1)因为f(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2)．令f(x)＝0，即(x＋1)(x－2)＝0.解得x＝－1或x＝2.所以函数f(x)的零点为－1和2.(2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－13.所以函数g(x)的零点为0和－13.1求函数fx的零点就是求方程fx＝0的解，求解时注意函数的定义域.2已知x0是函数fx的零点，则必有fx0＝0.[变式训练1]已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn(mx＋1)的零点．解：由题意知f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2，则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两个实根，所以有1＋2＝－3m＋1，1×2＝n，解得m＝－2，n＝2.所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1)．令log2(－2x＋1)＝0，得x＝0.所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.类型二判断函数零点所在区间[例2](1)方程log3x＋x＝3的解所在的区间为()A．(0,2)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)(2)根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________.x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345[答案](1)C(2)1[解析](1)令f(x)＝log3x＋x－3，则f(1)＝log31＋1－3＝－20，f(2)＝log32＋2－43＝log3230，f(3)＝log33＋3－3＝10，f(4)＝log34＋4－3＝log3120，则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)，所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．(2)记f(x)＝ex－x－2，则该函数的零点就是方程ex－x－2＝0的实根．由题表可知f(－1)＝0.37－10，f(0)＝1－20，f(1)＝2.72－30，f(2)＝7.39－40，f(3)＝20.09－50.由零点存在性定理可得f(1)f(2)0，故函数的零点所在的区间为(1,2)．所以k＝1.判断函数零点所在区间的三个步骤：1代.将区间端点代入函数求出函数的值.2判.把所得函数值相乘，并进行符号判断.3结.若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点，若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少有一个零点.[变式训练2]函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致区间是(B)A．(1,2)B．(2,3)C．(1e，1)和(3,4)D．(e，＋∞)解析：∵f(1)＝－20,f(2)＝ln2－10，又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴在(1,2)内f(x)无零点．又∵f(3)＝ln3－230，∴f(2)·f(3)0.∴f(x)在(2,3)内有一个零点．∴选B.类型三函数零点个数的有关问题命题视角1：判断函数零点的个数[例3]求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．[解]方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－10，f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg30，∴f(x)在(0,2)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．方法二：如图，5在同一坐标系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图象．由图知，g(x)＝lg(x＋1)和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．判断函数零点的个数的方法主要有：1对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.2由fx＝gx－hx＝0，得gx＝hx，在同一坐标系中作出y1＝gx和y2＝hx的图象，利用图象判定方程根的个数.[变式训练3]函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(B)A．1B．2C．3D．4解析：易知函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数⇔方程|log0.5x|＝12x＝12x的根的个数⇔函数y1＝|log0.5x|与y2＝12x的图象的交点个数．两个函数的图象如图所示，可知两个函数图象有两个交点，故选B.6命题视角2：由函数的零点求参数的取值范围[例4]已知函数f(x)＝12x＋34，x≥2，log2x，0x2.若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________．[答案]34，1[解析]画出函数f(x)的图象如图．要使函数g(x)＝f(x)－k有两个不同零点，只需y＝f(x)与y＝k的图象有两个不同交点，由图易知k∈34，1.此类题关键是画出图象，将函数零点问题转化为图象交点问题，从而确定参数的范围.[变式训练4]若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是(0,2)．解析：令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，由题意可知函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个交点，结合函数图象(如图所示)可知，0b2.71．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是(B)A．(－2,3)B．2,3C．(2,3)D．－2，－3解析：令－x2＋5x－6＝0.解得x1＝2，x2＝3，故函数零点为2,3.2．设x0是方程lnx＋x＝4的解，则x0所在的区间是(C)A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：设f(x)＝lnx＋x－4，则f(1)＝－30，f(2)＝ln2－20，f(3)＝ln3－10，f(4)＝ln40，则x0∈(2,3)．3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(1，＋∞)．解析：函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，就是方程x2＋2x＋a＝0没有实数解，所以Δ＝4－4a0，即a1.4．方程2|x|＋x＝2的实根的个数为2.解析：由2|x|＋x＝2，得2|x|＝2－x.在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2|x|与函数y＝2－x的图象，如图，图象有2个交点，即方程有2个实根．5．求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.令y1＝log2x，y2＝x－2.画出两个函数的大致图象，如图所示．8有两个不同的交点．所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．——本课须掌握的三大问题1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．学习至此，请完成课时作业23二次函数的零点问题开讲啦二次函数零点的分布问题又称为一元二次方程根的分布问题，求解此类问题，一定要注意数形结合方法的应用，从各个方面去考虑使结论成立的所有条件，如判别式、根与系数的关系、对称轴、函数值的大小、开口方向等．[典例]已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m的9取值范围．[分析]本题首先要确定二次项系数的取值，故应分类讨论．[解](1)当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，直线与x轴的交点为13，0，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．(2)当m≠0时，∵f(0)＝1，∴抛物线过点(0,1)．若m0，函数f(x)图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m0，函数f(x)图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当Δ＝m－32－4m≥0，3－m2m0，m0，解得0m≤1.综上所述，所求m的取值范围是(－∞，1]．[对应训练]已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．解：设f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，则f(x)的图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1,2)内，10画出示意图(如图所示)，观察图象可得f0＝2m＋10f－1＝20f1＝4m＋20f2＝6m＋50，解得－56m－12.所以m的取值范围是(－56，－12)．