2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.1.2 指数函数及其性质 第2课时

1第2课时指数函数性质的应用[目标]1.会利用指数函数的单调性比较两个幂的大小；2.会利用指数函数的单调性解简单的指数不等式；3.会利用指数函数的单调性求指数型函数的值域．[重点]指数函数单调性的应用．[难点]求指数型函数的值域．知识点一比较幂的大小[填一填]比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同，且指数也不同的两个幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．[答一答]1．af(x)与(1a)g(x)(a0，且a≠1)如何比较大小？提示：化为同底的幂值，比如可将(1a)g(x)化为a－g(x)．知识点二指数函数型复合函数[填一填]指数函数与其他函数复合后形成复合函数，如y＝af(x)和y＝f(ax)(a0，且a≠1)．通过对这些复合函数性质的研究，搞清指数函数与其他函数之间的联系，明确复合函数的性质与指数函数的性质的区别与联系．形如y＝af(x)(a0，且a≠1)的函数的单调性的判断，常用复合函数法．利用复合函数的单调性：当a1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当0a1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．2[答一答]2．讨论函数y＝12－x2＋2x的单调性．提示：此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此也可根据复合函数的单调性对其进行讨论．函数y＝12－x2＋2x的定义域为R，令u＝－x2＋2x，则y＝12u.列表如下：由表可知，原函数在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.类型一利用指数函数的单调性比较大小[例1]比较下列各组数的大小：(1)1.9－π与1.9－3；(2)0.72－3与0.70.3；(3)0.7－1与0.62.[分析]底数相同的幂依据指数函数的单调性比较；底数不同且指数也不同的，可借助中间值比较．[解](1)∵指数函数y＝1.9x在R上是增函数，且－π－3，∴1.9－π1.9－3.(2)∵指数函数y＝0.7x在R上是减函数，且2－3≈0.2680.3，∴0.72－30.70.3.(3)∵指数函数y＝0.7x在R上单调递减，且－10，∴0.7－10.70＝1.∵指数函数y＝0.6x在R上单调递减，且20，∴0.620.60＝1.∴0.7－10.62.3对于幂的大小比较，一般规律为：1同底数幂的大小比较：构造指数函数，利用单调性比较大小.2既不同底数，又不同指数的幂的大小比较：利用中间量法，常借助中间量0或1进行比较.[变式训练1]比较下列各题中两个值的大小：(1)57－1.8，57－2.5；(2)23－0.5，34－0.5；(3)0.20.3,0.30.2.解：(1)因为0571，所以函数y＝57x在其定义域R上单调递减，又－1.8－2.5，所以57－1.857－2.5.(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝23x与y＝34x的图象，如图所示．当x＝－0.5时，由图象观察可得23－0.534－0.5.(3)因为00.20.31，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，所以0.20.20.30.2.又根据指数函数y＝0.2x的性质可得0.20.30.20.2，所以0.20.30.30.2.4类型二解简单的指数不等式[例2](1)解不等式122x－1≤2；(2)若a－3xax＋4(a0且a≠1)．求x的取值范围．[解](1)122x－1＝(2－1)2x－1＝21－2x.因此原不等式等价于21－2x≤21，又y＝2x是R上的增函数，所以1－2x≤1.所以x≥0.因此原不等式的解集是{x|x≥0}．(2)①当0a1时，由y＝ax在R上单调递减得－3xx＋4，即－4x4.解得x－1.②当a1时，由y＝ax在R上单调递增得－3xx＋4，即－4x4.解得x－1.综上，当0a1时，x的取值范围为(－1，＋∞)，当a1时，x的取值范围为(－∞，－1)．解与指数有关的不等式时，需注意的问题：1形如axay的不等式，借助y＝axa0，且a≠1的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论；2形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝axa0，且a≠1的单调性求解；3形如axbx的形式，利用图象求解.[变式训练2]根据下列条件，确定实数x的取值范围．(1)0.23x－1125；(2)a1a1－4x(a0且a≠1)．解：(1)原不等式可化为51－3x5－2.∵函数y＝5x在R上是增函数，∴1－3x－2，即x1.故满足条件的实数x的取值范围是(－∞，1)．5(2)原不等式可化为a4x－1a12.∵函数y＝ax(a0且a≠1)，当a1时，y是增函数，当0a1时，y是减函数．故当a1时，由4x－112知x38；当0a1时，由4x－112知x38.综上可知，当a1时，x的取值范围是38，＋∞，当0a1时，x的取值范围是－∞，38.类型三指数函数的单调区间[例3]判断f(x)＝(13)x2－2x的单调性，并求其值域．[分析]先利用复合函数单调性判断f(x)的单调性，再利用单调性求值域．[解]令u＝x2－2x，则原函数变为y＝(13)u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝(13)u在(－∞，＋∞)上递减，∴y＝(13)x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝(13)u，u∈[－1，＋∞)，∵0(13)u≤(13)－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．1.关于指数型函数y＝af(x)(a0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．2．求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性．6[变式训练3]求函数y＝2－x2＋2x＋3的单调区间．解：∵－x2＋2x＋3≥0，x2－2x－3≤0，∴－1≤x≤3.∴函数的定义域为[－1,3]，函数u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其图象的对称轴为直线x＝1.∴u＝－x2＋2x＋3在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，∴函数y＝2－x2＋2x＋3在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，∴函数y＝2－x2＋2x＋3的单调增区间是[－1,1]，减区间是[1,3]．1．函数y＝121－x的单调递增区间为(A)A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0,1)解析：函数定义域为R，设u＝1－x，y＝12u.∵u＝1－x在R上为减函数，又∵y＝12u在(－∞，＋∞)为减函数，∴y＝121－x在(－∞，＋∞)是增函数，∴选A.2．若122a＋1123－2a，则实数a的取值范围是(B)A．(1，＋∞)B.12，＋∞C．(－∞，1)D.－∞，12解析：原式等价于2a＋13－2a，解得a12.3．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝12－1.5，则(D)A．y3y1y2B．y2y1y3C．y1y2y3D．y1y3y27解析：40.9＝21.8,80.48＝21.44，12－1.5＝21.5，根据y＝2x在R上是增函数，所以21.821.521.44，即y1y3y2，故选D.4．某种细菌在培养过程中，每20min分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3h，这种细菌由1个可繁殖成512个．解析：3h＝9×20min，即经过9次分裂，可分裂为29＝512个．5．已知函数y＝12x2－6x＋17.(1)求此函数的定义域，值域．(2)确定函数的单调区间．解：(1)定义域为R，值域为0，1256.(2)函数的单调递增区间为(－∞，3]，单调递减区间为[3，＋∞)．——本课须掌握的两大问题1．比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则ambn；若amc且cbn，则ambn.2．指数函数单调性的应用(1)形如y＝af(x)的函数的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．(2)形如axay的不等式，当a1时，axay⇔xy；当0a1时，axay⇔xy.学习至此，请完成课时作业17学科素养培优精品微课堂二次函数与指数函数的综合问题探究开讲啦二次函数与指数函数的综合问题是常见题，对于这类问题，本质上考查的8还是闭区间上的二次函数的最值问题．在处理方式上可以利用换元法将指数函数换成t＝ax的形式，再利用定义域和y＝ax的单调性求出t的范围，此时纯粹就是闭区间上的二次函数的最值问题了．[典例]求函数y＝(14)x－3×(12)x＋2，x∈[－2，2]的值域．[解]y＝(14)x－3×(12)x＋2＝(12)2x－3×(12)x＋2，令t＝(12)x，则y＝t2－3t＋2＝(t－32)2－14.∵x∈[－2,2]，∴14≤t＝(12)x≤4，当t＝32时，ymin＝－14；当t＝4时，ymax＝6.∴函数y＝(14)x－3×(12)x＋2，x∈[－2,2]的值域是[－14，6]．[名师点评]指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的值域是(0，＋∞)，利用换元法解题时，要注意新元的取值范围，即换元要换限，否则极易出错．[对应训练]求函数y＝14x＋12x＋1的值域．解：令t＝12x，则t0，y＝f(t)＝t2＋t＋1＝t＋122＋34，因为函数f(t)＝t＋122＋34在(0，＋∞)上为增函数，所以y∈(1，＋∞)，即函数的值域为(1，＋∞)．9