2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.1 对数与对数运算 第1课时 对

1第1课时对数[目标]1.记住对数的定义，会进行指数式与对数式的互化；2.记住对数的性质，会利用对数的性质解答问题．[重点]对数的概念及对数的性质．[难点]对数概念的理解及对数性质的应用.知识点一对数的概念[填一填]1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．对数与指数间的关系：当a0，a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN.2．两种重要对数(1)常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN.(2)自然对数：以无理数e(e＝2.718_28…)为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN.[答一答]1．在对数概念中，为什么规定a0且a≠1呢？提示：(1)若a0，则N取某些数值时，logaN不存在，为此规定a不能小于0.(2)若a＝0，则当N≠0时，logaN不存在，当N＝0时，则logaN有无数个值，与函数定义不符，因此，规定a≠0.(3)若a＝1，当N≠1时，则logaN不存在，当N＝1时，则logaN有无数个值，与函数定义不符，因此，规定a≠1.2．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.(×)(2)对数式log32与log23的意义一样．(×)(3)对数的运算实质是求幂指数．(√)(4)等式loga1＝0对于任意实数a恒成立．(×)2知识点二对数的基本性质[填一填]1．对数的性质(1)负数和零没有对数；(2)loga1＝0(a0，且a≠1)；(3)logaa＝1(a0，且a≠1)．2．对数恒等式alogaN＝N.[答一答]3．为什么零与负数没有对数？提示：因为x＝logaN(a0，且a≠1)⇔ax＝N(a0，且a≠1)，而a0且a≠1时，ax恒大于0，即N0，故0和负数没有对数．4．你知道式子alogaN＝N(a0，a≠1，N0)为什么成立吗？提示：此式称为对数恒等式．设ab＝N，则b＝logaN，∴ab＝alogaN＝N.类型一对数的意义[例1]求下列各式中的实数x的取值范围：(1)log2(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)．[分析]根据对数的定义列出不等式(组)求解．[解](1)由题意有x－100，∴x10，∴实数x的取值范围是{x|x10}．(2)由题意有x＋20，x－10，x－1≠1，即x－2，x1，且x≠2，∴x1，且x≠2.∴实数x的取值范围是{x|x1，且x≠2}．3求形如logfxgx的式子有意义的x的取值范围，可利用对数的定义，即满足gx0，fx0，fx≠1，进而求得x的取值范围.[变式训练1]求下列各式中实数x的取值范围：(1)log(2x－1)(3x＋2)；(2)log(x2＋1)(－3x＋8)．解：(1)因为真数大于0，底数大于0且不等于1，所以3x＋20，2x－10，2x－1≠1，解得x12，且x≠1.即实数x的取值范围是{x|x12，且x≠1}．(2)因为底数x2＋1≠1，所以x≠0.又因为－3x＋80，所以x83.综上可知，x83，且x≠0.即实数x的取值范围是{x|x83，且x≠0}．类型二利用对数式与指数式的关系求值[例2]求下列各式中x的值：(1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2；(3)lne2＝x；(4)logx27＝32；(5)lg0.01＝x.[分析]利用指数式与对数式之间的关系求解．[解](1)∵4x＝5·3x，∴4x3x＝5，∴43x＝5，41.logaN＝x与ax＝Na0，且a≠1，N0是等价的，转化前后底数不变.2.对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的互化求出第三个.[变式训练2]求下列各式中x的值．(1)log2x＝32；(2)logx33＝3；(3)x＝log51625；(4)log2x2＝4.解：(1)由log2x＝32，得x＝232＝23＝22.(2)由logx33＝3，得x3＝33＝(3)3，∴x＝3.(3)由x＝log51625，得5x＝1625＝5－4，∴x＝－4.(4)由log2x2＝4，得x2＝(2)4＝4，∴x＝±2.类型三对数基本性质的应用[例3]求下列各式中x的值：5[解](1)∵log3(log2x)＝0，∴log2x＝1.∴x＝21＝2.对数的基本性质及对数恒等式是进行对数化简、求值的重要工具，要熟记并能灵活应用.[变式训练3]求下列各式中的x：解：(1)∵ln(lgx)＝1，∴lgx＝e，∴x＝10e.(2)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝5.1．把对数式m＝lognq化为指数式是(B)A．mn＝qB．nm＝qC．nq＝mD．qm＝n6解析：利用对数定义得nm＝q.2．log3181等于(B)A．4B．－4C.14D．－14解析：log3181＝log33－4＝－4.3．＝34.4．log5[log3(log2x)]＝0，则x－12＝24.解析：∵log5[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1.∴log2x＝3.∴x＝23.5．把下列各式中的对数式化为指数式，指数式化为对数式．(1)5－2＝125；(2)8x＝30；(3)3x＝1；(4)log139＝－2；(5)x＝log610；(6)x＝ln13；(7)3＝lgx.解：(1)－2＝log5125；(2)x＝log830；(3)x＝log31；(4)(13)－2＝9；(5)6x＝10；(6)ex＝13；(7)103＝x.——本课须掌握的三大问题1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a0，且a≠1，N0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．73．指数式与对数式的互化学习至此，请完成课时作业18