2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.2 对数函数及其性质 第1课时

1第1课时对数函数的图象与性质[目标]1.记住对数函数的定义、图象和性质；2.会利用对数函数的图象和性质解答有关问题；培养直观想象核心素养．[重点]对数函数的定义、图象和性质．[难点]对数函数性质的概括总结.知识点一对数函数的概念[填一填]1．一般地，我们把函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．2．对数函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)，值域为R.[答一答]1．为什么在对数函数中要求a0，且a≠1?提示：根据对数式与指数式的关系知，y＝logax可化为ay＝x，联想指数函数中底数的范围，可知a0，且a≠1.2．下列函数是对数函数的是(C)A．y＝loga2x(a0，a≠1)B．y＝loga(x2＋1)(a0，a≠1)C．y＝log1ax(a0，a≠1)D．y＝2lgx解析：在对数函数的定义表达式y＝logax(a0且a≠1)中，logax前面的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则不是对数函数．所以选C.知识点二对数函数的图象与性质[填一填]23[答一答]3．怎样可以快速画出对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的草图？提示：根据对数函数的性质可知，对数函数的图象都经过点(1a，－1)，(1,0)，(a,1)，且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数y＝logax的草图．4．对数函数y＝logax(a0且a≠1)，当a1，x取何值时，y0？x取何值时，y0？当0a1呢？提示：结合对数函数的图象可知，当a1时，若x1，则y0；若0x1，则y0.当0a1时，若x1，则y0；若0x1，则y0.类型一对数函数的概念[例1]已知对数函数f(x)的图象过点4，12.①求f(x)的解析式；②解方程f(x)＝2.[分析]根据已知设出函数解析式，代入点的坐标求出对数函数的底数；然后利用“指对互化”解方程．[解]①由题意设f(x)＝logax(a0，且a≠1)，由函数图象过点4，12可得f(4)＝12，即loga4＝12，所以4＝a12，解得a＝16，故f(x)＝log16x.②方程f(x)＝2，即log16x＝2，所以x＝162＝256.利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如logam＝n，这时先把对数式logam＝n化为指数式的形式an＝m，把m化为以n为指数的指数幂形式m＝knk0，且k≠1，解得a＝k0.还可以直接写出a＝m1n，再利用指数幂的运算性质化简m1n.4[变式训练1](1)已知对数函数f(x)的图象过点(8,3)，则f132＝－5.(2)已知函数f(x)＝(2m2－m)logax＋m－1是对数函数，则m＝1.解析：(1)设f(x)＝logax(a0，且a≠1)，则3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.∴f(x)＝log2x，f132＝log2132＝log22－5＝－5.(2)因为函数f(x)是对数函数，则2m2－m＝1，m－1＝0，解得m＝1.类型二对数函数图象的有关问题命题视角1：对数函数的底与图象变化的关系[例2]对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx在同一坐标系内的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是________．5[答案]abcd[解析]利用数形结合法，画出直线y＝1判断，亦可根据在第一象限内顺时针旋转底数逐渐增大解决．如图，作直线y＝1，则该直线与各函数图象必各交于一点，由logaa＝1可知，各交点的横坐标分别为各函数底数，从而可知abcd.在第一象限内顺时针旋转，底数逐渐增大，故abcd.当0a1时，对数函数的图象是下降的，而且随着a由大变小，图象下降的速度变慢．当a1时，对数函数的图象是上升的，而且随着a由小变大，图象上升的速度变慢．[变式训练2]已知a0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是(B)解析：方法一若0a1，则函数y＝ax的图象下降且过点(0,1)，而函数y＝loga(－x)的图象上升且过点(－1,0)，以上图象均不符合．若a1，则函数y＝ax的图象上升且过点(0,1)，而函数y＝loga(－x)的图象下降且过点(－1,0)，只有B中图象符合．方法二首先指数函数y＝ax的图象只可能在上半平面，函数y＝loga(－x)的图象只可能在左半平面，从而排除A，C；再看单调性，y＝ax与y＝loga(－x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合．命题视角2：图象过定点问题[例3]函数y＝loga(x＋1)－2(a0，且a≠1)的图象恒过点________．[答案](0，－2)[解析]因为函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．6求函数y＝m＋logafxa0，且a≠1的图象过的定点时，只需令fx＝1求出x，即得定点为x，m.[变式训练3]函数y＝2loga|1－x|＋1(a0且a≠1)的图象恒过定点(0,1)或(2,1)．解析：令|1－x|＝1，则x＝0或2，此时y＝1.所以函数图象过定点(0,1)或(2,1)．命题视角3：对数函数图象的变换与识别[例4]作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．[分析]充分利用图象变换，即平移变换、翻折变换作图象．[解]第一步：作出y＝log2x的图象(如图(1))；第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度得y＝log2(x＋1)的图象(如图(2))；第三步：将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得y＝|log2(x＋1)|的图象(如图(3))；第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，得到y＝|log2(x＋1)|＋2的图象(如图(4))．(1)作函数图象的基本方法是列表描点法．另外，对形如y＝f(|x|)的函数，可先作出y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，再作关于y轴对称的图象，即可得到y＝f(|x|)的图象．对于函数y＝|f(x)|，可先作出y＝f(x)的图象，然后x轴上方的不动，下方的关于x轴翻折上去即可得到y＝|f(x)|的图象．(2)如果只需要作出函数的大致图象时，可采用图象变换的方法．7[变式训练4]画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间：(1)y＝log3(x－2)；(2)y＝|log12x|.解：(1)函数y＝log3(x－2)的图象如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R，在区间(2，＋∞)上是增函数．(2)y＝|log12x|＝log12x，0x≤1，log2x，x1，其图象如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．类型三对数函数的定义域[例5]求下列函数的定义域：(1)y＝log5(1－x)；(2)y＝log1－x5；(3)y＝log0.54x－3.[分析]函数解析式有意义→列关于自变量的不等式组→得定义域[解](1)要使函数式有意义，需1－x0，解得x1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x1}．(2)要使函数式有意义，需1－x0，1－x≠1，解得x1，且x≠0，所以函数y＝log1－x5的定义域是{x|x1，且x≠0}．8(3)要使函数式有意义，需4x－30，log0.54x－3≥0，解得34x≤1，所以函数y＝log0.54x－3的定义域是{x|34x≤1}．定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.[变式训练5]求下列函数的定义域．(1)f(x)＝11－log3x－1；(2)f(x)＝解：(1)由x－10，log3x－1≠1，得x1，x≠4.∴定义域为(1,4)∪(4，＋∞)．1．若f(x)＝，则f(x)的定义域为(C)A．(－12，0)B．(－12，＋∞)9C．(－12，0)∪(0，＋∞)D．(－12，2)解析：由题得：2x＋10，2x＋1≠1，解得x－12且x≠0.2．函数y＝2＋log5x(x≥1)的值域为(C)A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．[2，＋∞)D．[3，＋∞)解析：由x≥1知log5x≥0，y≥2，值域是[2，＋∞)．3．函数y＝loga(x－1)－1的图象过定点(2，－1)．解析：∵令x－1＝1，则y＝－1，∴该函数过定点(2，－1)．4.函数f(x)＝ax＋bx≤0，logcx＋19x0的图象如图所示，则a＋b＋c＝133.解析：由图象可求得直线的方程为y＝2x＋2，又函数y＝logc(x＋19)的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c＝13，所以a＋b＋c＝2＋2＋13＝133.5．设a1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，求实数a的值．解：∵a1，∴f(x)＝logax在(0，＋∞)上是增函数．∴最大值为f(2a)，最小值为f(a)．∴f(2a)－f(a)＝loga2a－logaa＝12，10即loga2＝12.∴a＝4.——本课须掌握的两大问题1．只有形如y＝logax(a0且a≠1)的函数才是对数函数．例如，y＝log3x，y＝log14x等都是对数函数；而y＝log3(x＋1)，y＝2log3x等都不是对数函数．2．在对数函数y＝logax(a0，且a≠1)中，无论a取何值，对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，函数图象落在第一、四象限，且当0a1时函数单调递减，当a1时函数单调递增．学习至此，请完成课时作业20