2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.1 集合的含义与表示 第2课时 集合

1第2课时集合的表示[目标]1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)；2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．[重点]集合的两种表示方法及其运用．[难点]对描述法表示集合的理解.知识点一列举法[填一填]把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法．{}表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；书写时不需要考虑元素的顺序．[答一答]1．实数集也可以写成{实数}，那么能写成{实数集}或{全体实数}吗？提示：不能，因为花括号“{}”表示“所有、全部”的意思．2．列举法能表示元素个数很少的有限集，那么可以用列举法表示无限集吗？提示：对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示，如正自然数集可以用列举法表示为{1,2,3,4,5，…}．3．集合{(1,2)}与{(2,1)}是否为相等集合？提示：不是．知识点二描述法[填一填]1．用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．2．具体方法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．[答一答]4．集合{x|x3}与集合{t|t3}表示同一个集合吗？提示：虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合．类型一用列举法表示集合[例1](1)若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是()2A．1B．2C．3D．4(2)用列举法表示下列集合．①不大于10的非负偶数组成的集合；②方程x2＝x的所有实数解组成的集合；③直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；④方程组x＋y＝1，x－y＝－1的解．[答案](1)B(2)见解析[解析](1)集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．(2)解：①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．②方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．③将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组x＋y＝1，x－y＝－1，得x＝0，y＝1.∴用列举法表示方程组x＋y＝1，x－y＝－1的解集为{(0,1)}．用列举法表示集合应注意的三点,1应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；2集合中的元素一定要写全，但不能重复；3若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.[变式训练1]用列举法表示下列集合：(1)15的正约数组成的集合；(2)所有正整数组成的集合；(3)直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合．解：(1){1,3,5,15}．(2)正整数有1,2,3，…，所求集合用列举法表示为{1,2,3，…}．3(3)方程组y＝x，y＝2x－1的解是x＝1，y＝1，所求集合用列举法表示为{(1,1)}．类型二用描述法表示集合[例2]用描述法表示下列集合：(1)不等式2x－73的解集A；(2)二次函数y＝x2＋1的函数值组成的集合B；(3)被3除余2的正整数的集合C；(4)平面直角坐标系内坐标轴上的点组成的集合D.[分析]先确定集合元素的符号，再把元素的共同特征通过提炼加工后写在竖线后面．[解](1)解2x－73得x5，所以A＝{x|x5}．(2)函数值组成的集合就是y的取值集合，所以B＝{y|y＝x2＋1，x∈R}．(3)被3除余2的正整数可以表示为3n＋2(n∈N)，所以集合C＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．(4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0，所以D＝{(x，y)|x·y＝0，x∈R，y∈R}．1用描述法表示集合，应先弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素.2若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围.[变式训练2]用描述法表示下列集合：(1)函数y＝－x的图象上所有点组成的集合；(2)方程x2＋22x＋121＝0的解集；(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；(4)13，12，35，23，57，….解：(1){(x，y)|y＝－x，x∈R，y∈R}．(2){x|x＝－11}．(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合可表示为{x∈R||x|3}．(4)先统一形式13，24，35，46，57，…，找出规律，集合表示为xx＝nn＋2，n∈N*.类型三两种方法的灵活应用4[例3]用适当的方法表示下列集合：(1)方程组2x－3y＝14，3x＋2y＝8的解组成的集合；(2)1000以内被3除余2的正整数组成的集合；(3)所有的正方形组成的集合；(4)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．[分析](1)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)是有限集，但个数较多，用描述法；(3)(4)是无限集，用描述法表示．[解](1)解方程组2x－3y＝14，3x＋2y＝8，得x＝4，y＝－2，故该集合用列举法可表示为{(4，－2)}．该集合也可用描述法表示为x，y2x－3y＝14，3x＋2y＝8.(2)设集合的代表元素是x，则该集合用描述法可表示为{x|x＝3k＋2，k∈N，且k≤332}．(3)集合用描述法表示为{x|x是正方形}或{正方形}．(4)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．当集合的元素个数很少很容易写出全部元素时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多不易写出全部元素时，常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集，也可用列举法表示.如正奇数集也可写为{1，3，5，7，9，…}.但值得注意的是，并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.[变式训练3]用适当的方法表示下列集合：(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；(2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合．解：(1)用描述法表示为{x|2x5，且x∈Q}．(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．(3)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，所以该集合用描述法表示为{(x，y)||y|＝|x|}．51．集合{x∈N|x5}的另一种表示方法是(A)A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}解析：由题x∈N，且x5，∴x的值为0,1,2,3,4，用列举法表示为{0,1,2,3,4}．2．方程组x＋y＝2，x－2y＝－1的解集是(C)A．{x＝1，y＝1}B．{1}C．{(1,1)}D．{(x，y)|(1,1)}解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D中的条件是点(1,1)，不含x，y，排除D.3．集合{x|x＝a，a36，x∈N}，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5}．解析：由a36，可得a6，即x6，又x∈N，故x只能取0,1,2,3,4,5.4．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}．解析：正整数中所有的偶数均能被2整除．5．用适当的方法表示下列集合：(1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2，且n∈N}；(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合；(3)x2－4的一次因式组成的集合；(4)由方程组x＋y＝3，x－y＝－1的解所组成的集合．解：(1)用列举法表示为P＝{0,2,4}．(2)可用列举法表示为{6,9,12}；也可用描述法表示为{x|x＝3n，4x15，且n∈N}．(3)用列举法表示为{x＋2，x－2}．(4)可用列举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x，y)|x＝1，y＝2}．——本课须掌握的两大问题1．表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．62．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．(2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．学习至此，请完成课时作业2学科素养培优精品微课堂“形似异质”的集合的表示开讲啦集合的类型有多种形式，可以是数集、点集、图形集或是其他类型的集合，判断它是哪种类型的集合主要根据代表元素的类型来判断．[典例]有下面三个集合：①A＝{x∈R|y＝x2＋1}；②B＝{y∈R|y＝x2＋1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R，y∈R}．它们是不是相同集合，为什么？[分析]分析各集合中代表元素是哪种类型以及对各元素所具有的属性作出判断．[解]对于集合A，其代表元素为x，x属于实数，因此它表示数集，又元素所满足的条件为y＝x2＋1，它表示函数y＝x2＋1中自变量x的取值范围，因为函数y＝x2＋1中自变量x的取值范围是R，故A＝R；对于集合B，其代表元素为y，y属于实数，因此它表示数集，又元素所满足的条件为y＝x2＋1，它表示函数y＝x2＋1的函数值y，故B＝{y|y≥1}；对于集合C，其代表元素为(x，y)，它表示坐标平面中的点的坐标，又元素所满足的条件为y＝x2＋1，它表示函数y＝x2＋1图象上的点．综上所述，集合A、B、C是不同的集合．[名师点评]理解描述法表示的集合，关键是对符号语言所表达的含义要正确理解．认识它时，一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的类型，以此确定集合的类型；二要看代表元素所具有的属性，即它要满足什么条件，以此确定集合中元素的组成部分．[对应训练]判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)整数集Z＝{x|x＝n＋1，n∈Z}．(√)(2){y|y＝x2}≠{x|y＝x}．(×)(3)两条直线y＝2x与y＝x－1的交点构成集合M，集合N＝x，yy＝2xy＝x－1，则M＝N.(√)(4)M＝{(x，y)|x＋y＝4，x，y∈N*}＝{(0,4)，(1,3)，(2,2)}．(×)7解析：(1)整数集是个无限集，x＝n＋1，n∈Z能表示任意一个整数，所有的整数也能写成这种形式，故(1)正确．{y|y＝x2}表示通过计算y＝x2得到的所有y值的集合，也可以理解为二次函数y＝x2图象上所有点的纵坐标的取值集合，即{y|y＝x2}表示非负实数集；{x|y＝x}表示满足y＝x的所有x的取值集合，因此x可以取任意非负实数，即{x|y＝x}表示非负实数集．两者表示的数集完全一样，故(2)错误．集合N是一个点集，描述集合M采用的是自然语言，二者含义一样，故(3)正确．集合M是由满足x＋y＝4，且x，y均为正整数的x，y构成的点集，易知M＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}，故(4)错误.