（新高考）2020版高考数学二轮复习 第二部分 讲重点 选填题专练 第6讲 计数原理、二项式定理、概

1第6讲计数原理、二项式定理、概率调研一计数原理■备考工具——————————————1．两个计数原理：分类加法原理与分步乘法原理．2．排列数公式Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！(m，n∈N*，并且m≤n)．Ann＝n！＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1，规定0！＝1.3．组合问题(1)组合数公式：Cmn＝AmnAmm＝nn－1n－2…n－m＋1m！＝n！m！n－m！(m，n∈N*，并且m≤n)．(2)组合数的性质：①Cmn＝Cn－mn；②Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n(m≤n，m，n∈N*)．4．解排列、组合题的基本方法(1)优先法①元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；②位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置．(2)排异法对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉．(3)分类处理某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理得出结论，注意分类要不重、不漏．(4)分步处理某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步乘法计数原理解决．在解题过程中，常常既要分类，也要分步，其原则是先分类，再分步．(5)插空法某些元素不能相邻或要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．(6)捆绑法把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”做全排列，最后再“松绑”——将“捆绑”元素在这些位置上做全排列．2(7)隔板法将n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法，等价于将n个相同小球串成一串，从间隙里选m－1个结点，剪截成m段．这是针对相同元素的组合问题的一种方法．(8)消序法对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素同时一行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数．(9)穷举法将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来．这种方法常用于方法数比较少的问题．■自测自评——————————————1．[2019·山西八校联考]某工厂安排6人负责周一至周六的中午午休值班工作，每天1人，每人值班1天，若甲、乙两人需安排在相邻两天值班，且都不排在周三，则不同的安排方式有()A．192种B．144种C．96种D．72种解析：甲、乙两人可以排在周一、周二两天，可以排在周四、周五两天，也可以排在周五、周六两天，所以甲、乙两人的安排方式共有C13A22＝6(种)，其他4个人要在剩下的4天全排列，所以所有人的安排方式共有6A44＝6×24＝144(种)．答案：B2．[2019·湖北重点中学考试]有4位游客来某地旅游，若每人只能从此地甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为()A.34B.916C.89D.49解析：通解：由题意知，4位游客各从此地甲、乙、丙三个不同的景点中选择一处游览的选法有34＝81种．第一步：从三个不同景点中选出一个景点有2位游客去游览的选法有C13种；第二步：从4位游客中选2位到第一步选出的景点去游览有C24种方法；第三步：余下2位游客到余下的两个景点的分法有A22种．所以每个景点都有人去游览的方法有C13C24A22＝36种，于是所求概率为P＝3681＝49，故选D.优解：由题意知，4位游客各从此地甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览的选法有34＝81种．将4位游客分为3组的分法有C24种，然后将这3组游客分到甲、乙、丙三个不同景点，其分法有A33种，由分步乘法计数原理知，每个景点都有人去游览的方法有C24A333＝36种．于是所求概率为P＝3681＝49，故选D.答案：D3．[2019·河北九校联考]第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”“对象采访”“文稿编写”“编制剪辑”四项工作，每项工作至少一人参加，但2名女记者不参加“负重扛机”工作，则不同的安排方案数共有()A．150B．126C．90D．54解析：根据题意，“负重扛机”可由1名男记者或2名男记者参加，当由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有C13种方法，剩余2男2女记者可分为3组参加其余三项工作，共有C24C12A22·A33种方法，故由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有C13·C24C12A22·A33种方法；当由2名男记者参加“负重扛机”工作时，剩余1男2女3名记者各参加一项工作，有C23·A33种方法．故满足题意的不同安排方案数共有C13·C24C12A22·A33＋C23·A33＝108＋18＝126.故选B.答案：B4．[2019·遵义航天中学二模]将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本至多两本，则不同的分法种数是()A．60B．90C．120D．180解析：第一步，将5本不同的书分成3组，一组1本，剩余两个组每组2本，有C25C23C11A22种分法；第二步，将分成的3组作全排列，有A33种排法，根据分步乘法计数原理可得不同的分法种数为C25C23C11A22·A33＝90种不同的分法，故选B.答案：B5．[2019·安徽六校联考]某地举办科技博览会，有3个场馆，现将24个志愿者名额分配给这3个场馆，要求每个场馆至少有1个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有()A．222种B．253种C．276种D．284种解析：“每个场馆至少有一个名额的分法”相当于在24个名额之间的23个空隙中选出两个空隙插入分隔符号，则有C223＝253种方法，至少有两个场馆的名额相同的分配方法有(1,1,22)，(2,2,20)，(3,3,18)，(4,4,16)，(5,5,14)，(6,6,12)，(7,7,10)，(8,8,8)，(9,9,6)，4(10,10,4)，(11,11,2)，共有10C13＋1＝31种，所以每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有253－31＝222种，故选A.答案：A6．[2019·湖南湘潭一模]某公司安排甲、乙、丙、丁4人去上海、北京、深圳出差，每人仅出差一个地方，每个地方都需要安排人出差．若甲不安排去北京，则不同的安排方法有________种．解析：分两类，第一类：安排1人去北京，有C13C23C11A22＝18种安排方法；第二类：安排2人去北京，有C23A22＝6种安排方法，根据分类加法计数原理可得不同的安排方法有18＋6＝24种．答案：247．[2019·长沙一模]为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A，B，C，D，E，F，共6门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A，B两门课程至少要选1门，则学生甲共有________种不同的选法．解析：通解：根据题意，可分三类完成：(1)选A课程不选B课程，有C24种不同的选法；(2)选B课程不选A课程，有C24种不同的选法；(3)同时选A和B课程，有C14种不同的选法．根据分类加法计数原理，得C24＋C24＋C14＝6＋6＋4＝16(种)，故学生甲共有16种不同的选法．优解：从6门课程中选3门的不同选法有C36种，而A和B两门课程都不选的选法有C34种，则学生甲不同的选法共有C36－C34＝20－4＝16(种)．答案：168．[2018·全国卷Ⅰ]从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)解析：通解：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有C12C24＝12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C22C14＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16种．优解：从6人中任选3人，不同的选法有C36＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C34＝4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16(种)．答案：169．[2019·安徽示范高中联考]现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．解析：解法一：从16张不同的卡片中任取3张，不同取法的种数为C316，其中有2张红色卡片的不同取法的种数为C24×C112，其中3张卡片颜色相同的不同取法的种数为C14×C34，所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为C316－C24×C1125－C14×C34＝472.解法二：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选3张，若都不同色，则不同取法的种数为C14×C14×C14＝64，若2张颜色相同，则不同取法的种数为C23×C12×C24×C14＝144.若红色卡片有1张，则剩余2张不同色时，不同取法的种数为C14×C23×C14×C14＝192，剩余2张同色时，不同取法的种数为C14×C13×C24＝72，所以不同的取法共有64＋144＋192＋72＝472(种)．答案：47210．[2019·郑州质量预测一]《中国诗词大会》(第三季)亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《沁园春·长沙》《蜀道难》《敕勒歌》《游子吟》《关山月》《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有________种．(用数字作答)解析：分两步完成：(1)《蜀道难》《敕勒歌》《游子吟》《关山月》进行全排有A44种，若《蜀道难》排在《游子吟》的前面，则有12A44种；(2)《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》插入已经排列好的四首诗词形成的前4个空位(不含最后一个空位)中，插入法有A24种．由分步乘法计数原理，知满足条件的排法有12A44A24＝144(种)．答案：144调研二二项式定理■备考工具——————————————1．二项式的通项与系数(a＋b)n展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝Crnan－rbr.展开式中Crn(r＝0,1，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．2．(1＋x)n＝1＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn.3．二项式系数的性质对称性Cmn＝Cn－mn(m≤n)增减性当kn＋12时，二项式系数逐步增大，由对称性知后半部分是逐渐减小的最大值(1)当n为偶数时，中间一项(第n2＋1项)的二项式系数最大，最大值为Cn2n；(2)当n为奇数时，中间两项(第n＋12项和第6n＋32项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn－12n或Cn＋12n二项展开式中项的系数和在(a＋b)n的展开式中，令a＝b＝1，得C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n，即二项式系数的和为2n，令a＝1，b＝－1得C0n＋C2n＋…＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1，即展开式中奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和.■自测自评——————————————1．[2019·全国卷Ⅲ](1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12B．16C．20D．24解析：展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C34＋2C14＝4＋8＝12.答案：A2．[2019·合肥质检]若ax－1x6的展开式的常数项为60，则a的值为()A．4B．±4C．2D．±2解析：ax－1x6的展开式的通项为Tr＋1＝Cr6·(ax)6－r·－1xr＝(－1)r·a6－r·Cr6·，令6－32r＝0，得r＝4，则(－1)4·a2·C46＝60，解得a＝±2.故选D.答案：D3．[2019·广州综合测试一](2－x3)(x＋a)5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是()A．5B．10C．15D．20解析：在(2－x3)(x＋a)5中，令x＝1，得