2020届高考数学大二轮复习 下篇 指导二 高考客观题“六招秒杀”教学案

-1-指导二高考客观题“六招秒杀”高考选择题、填空题绝大部分属于低中档题目，一般按由易到难的顺序排列，注意多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力．(1)解题策略：选择题、填空题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解题的基本策略是充分利用题干所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后一般，先间接后直接，另外对选择题可以先排除后求解．(2)解决方法：选择题、填空题属“小”题，解题的原则是“小”题巧解，“小”题不能大做．主要分直接法和间接法两大类．具体的方法有：直接法，等价转化法，特值、特例法，数形结合法，构造法，对选择题还有排除法(筛选法)等．直接法直接法就是利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解题最常用的方法．[例1](1)(2019·济南三模)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|PA→＋PB→＋PC→|的最大值为()A．6B．7C．8D．9[解析]B[∵点A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆的直径．又点P的坐标为(2,0)，∴PA→＋PC→＝2PO→＝(－4,0)．设B(x，y)，则x2＋y2＝1，且x∈[－1,1]，可得PB→＝(x－2，y)，则PA→＋PB→＋PC→＝(x－6，y)．故|PA→＋PB→＋PC→|＝－12x＋37.因此，当x＝－1时，|PA→＋PB→＋PC→|有最大值49＝7，故选B.](2)(2020·启东中学质检)已知M(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若MF1→·MF2→＜0，则y0的取值范围是________________．[解析]由题意知a＝2，b＝1，c＝3，∴F1(－3，0)，F2(3，0)，∴MF1→＝(－3－x0，－y0)，MF2→＝(3－x0，－y0)．∵MF1→·MF2→＜0，-2-∴(－3－x0)(3－x0)＋y20＜0，即x20－3＋y20＜0.∵点M(x0，y0)在双曲线上，∴x202－y20＝1，即x20＝2＋2y20，∴2＋2y20－3＋y20＜0，∴－33＜y0＜33.[活学活用1](1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是()A.22B.32C.2D.3解析：C[棱长为2的正四面体ABCD的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图为△ABF，则图中AB＝2，E为AB中点，则EF⊥DC，在△DCE中，DE＝EC＝3，DC＝2，∴EF＝2，∴三角形ABF的面积是2，故选C.](2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝log2－x，x≤0，fx－－fx－，x＞0，则f(2019)-3-的值为()A．－1B．0C．1D．2解析：C[∵定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝log2－x，x≤0fx－－fx－，x＞0，∴f(x＋6)＝f(x＋5)－f(x＋4)＝f(x＋4)－f(x＋3)－f(x＋4)＝－f(x＋3)＝－[f(x＋2)－f(x－1)]＝－[f(x＋1)－f(x)－f(x＋1)]＝f(x)，∴f(2014)＝f(335×6＋4)＝f(4)＝f(3)－f(2)＝f(2)－f(1)－f(2)＝－f(1)＝－f(0)＋f(－1)＝－log21＋log22＝1.故选C.]特值、特例法特值、特例法是解选择题、填空题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素，某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．当题目已知条件中含有某些不确定的量时，可将题目中变化的不定量选取一些符合条件的特殊值(或特殊函数，特殊角，特殊数列，特殊图形，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．[例2](1)如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP→·AC→＝________.[解析]把平行四边形ABCD看成正方形，则点P为对角线的交点，AC＝6，则AP→·AC→＝18.[答案]18(2)(2019·湛江二模)已知椭圆C1：x2m2＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：x2n2－y2＝1(n＞0)的焦点重合，若e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A．m＞n且e1e2＞1B．m＞n且e1e2＜1C．m＜n且e1e2＞1D．m＜n且e1e2＜1[解析]A[∵椭圆C1：x2m2＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：x2n2－y2＝1(n＞0)的焦点重合，-4-∴满足c2＝m2－1＝n2＋1，即m2－n2＝2＞0，∴m2＞n2，则m＞n，排除C，D则c2＝m2－1＜m2，c2＝n2＋1＞n2，则c＜m.c＜n，e1＝cm，e2＝cn，则e1·e2＝cm·cn＝c2mn，则(e1·e2)2＝cm2·cn2＝c2m2·c2n2＝m2－n2＋m2n2＝m2n2＋m2－n2－1m2n2＝1＋m2－n2－1m2n2＝1＋2－1m2n2＝1＋1m2n2＞1，∴e1e2＞1，故选A.][活学活用2](1)已知f(x)＝ax2＋x，x＞0，－x，x≤0，若不等式f(x－1)≥f(x)对一切x∈R恒成立，则a的最大值为()A．－910B．－1C．－12D．1解析：B[∵x∈R，f(x－1)≥f(x)恒成立，取x＝1代入，得f(0)≥f(1)，即0≥a＋1，∴a≤－1.由给出的选项知答案为B.](2)在平面直角坐标系中，设A，B，C是曲线y＝1x－1上三个不同的点，且D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，则过D，E，F三点的圆一定经过定点________．解析：曲线y＝1x－1的对称中心为(1,0)，设过对称中心的直线与曲线交于A，B两点，则-5-A，B的中点为对称中心(1,0)，所以过D，E，F三点的圆一定经过定点(1,0)，故答案为(1,0)．答案：(1,0)数形结合法在处理数学问题时，将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，通过对图形或示意图形的观察分析，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性解决问题，这种方法称为数形结合法．[例3](1)(2019·山东烟台三模)设拋物线x2＝4y的焦点为F，A为拋物线上第一象限内一点，满足|AF|＝2，已知P为拋物线准线上任一点，当|PA|＋|PF|取得最小值时，△PAF的外接圆半径为________．[解析]如图，x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线为y＝－1.设A，P两点坐标分别为(m，n)，(x，－1)，由题意|AF|＝n＋1＝2，∴n＝1，代入拋物线x2＝4y，得m＝2.即A(2,1)．|PA|＋|PF|＝x－2＋4＋x2＋4，该表达式的几何意义为点(x,0)到点(2,2)和(0，－2)的距离之和，当三点共线时，距离之和最小，由斜率公式，得－2－00－x＝－2－20－2，∴x＝1，即P(1，－1)，由△PAF的顶点坐标P(1，－1)，A(2,1)，F(0,1)，易知其三边长|PA|＝|PF|＝5，|AF|＝2，由余弦定理，得cos∠FPA＝5＋5－42×5＝35，∴sin∠FPA＝45.设△PAF的外接圆半径为R，由正弦定理，得2R＝245＝52，∴R＝54.[答案]54-6-(2)已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，若向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为()A．60°B．90°C．120°D．150°[解析]B[如图，因为a与b的夹角为120°，|b|＝2|a|，a＋b＋c＝0，所以在△OBC中，BC与CO的夹角为90°，即a与c的夹角为90°.][活学活用3](1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.解析：∵f(x)是奇函数，∴f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝－2对称，又f(x－4)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(x＋4)，∴f(x－4)＝f(x＋4)，∴f(x)周期为8，作出f(x)的大致函数图象如图：由图象可知f(x)＝m的4个根中，两个关于直线x＝－6对称，两个关于直线x＝2对称，∴x1＋x2＋x3＋x4＝－6×2＋2×2＝－8.答案：－8(2)已知函数f(x)＝ax－x－1(a＞0，且a≠1)恰有一个零点，则实数a的取值范围为____________．解析：-7-f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有一个零点等价于：函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象有一个交点，由图象可知当0＜a＜1时两函数只有一个交点，符合条件．当a＞1时(如图2)，因为函数y＝ax(a＞1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a所过的点(0，a)，此点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是0＜a＜1.答案：0＜a＜1等价转化法等价转化法就是用直接法求解时，问题中的某一个量很难求，把所求问题等价转化成另一个问题后，这一问题的各个量都容易求，从而使问题得到解决．通过转化，把不熟悉、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题．[例4](1)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，点M是BB1的中点，则三棱锥C1AMC的体积为()A.3B.2C．22D．23[解析]A[(方法一)取BC中点D，连接AD.-8-在正三棱柱ABCA1B1C1中，因为△ABC为正三角形，所以AD⊥BC.又平面BCC1B1⊥平面ABC，交线为BC，即AD⊥平面BCC1B1，所以点A到平面MCC1的距离就是AD.在正三角形ABC中，AB＝2，所以AD＝3.又AA1＝3，点M是BB1的中点，又BB1∥平面ACC1A1，点M到平面ACC1A1的距离等于点B到平面ACC1A1的距离，易知正三角形ABC底边AC上的高为3，因此，＝13×3×3＝3.故选A.](2)若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈0，12恒成立，则a的最小值为________．[解析]x2＋ax＋1≥00＜x≤12⇔ax≥－(x2＋1)⇔a≥－x＋1x.因为函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数，所以当x∈0，12时，f(x)≥f12＝12＋2＝52，所以－x＋1xmax＝－52，即a≥－52，即a的最小值是－52.-9-[答案]－52[活学活用4](2019·河北唐山三模)已知a＝32，b＝log23，c＝log34，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜a解析：C[a＝32＝32log22＝log28＜log23＝b.∵cb＝log34log23＝lg4·lg22＜＋22＜22＝1，∴c＜b.又a＝32log33＝log327＞log316＝log34＝c，∴c＜a＜b.]构造模型法构造模型法是由题目的条件和结论的特殊性构造出几何体、函数、向量等数学模型，然后在模型中进行推导与运算，达到快速解题的目的．构造模型法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，细致观察题目中数学结构、形式上的特点，通过分析、联想、类比接触过的数学模型，寻找灵感构造具体的数学模型．[例5](1)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏[解析]B[设塔的顶