2021高考数学一轮复习 第7章 不等式、推理与证明 第1节 不等式的性质与一元二次不等式教学案 文

-1-第7章不等式、推理与证明全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中一般考查1～2道小题，分值5～10分.2.考查内容从考查内容来看，对不等式解法的考查隐含在集合、函数、数列等问题中，对线性规划的考查重点考查求目标函数的最值问题.3.备考策略(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律①一元二次不等式的解法问题；②线性规划问题；③基本不等式求最值问题.(2)重视数形结合、分类讨论、转化化归思想的应用.第一节不等式的性质与一元二次不等式[最新考纲]1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图．(对应学生用书第107页)1．两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝ba，b∈R，a－b＜0⇔a＜b.-2-(2)作商法ab＞1⇔a＞b，ab＝1⇔a＝ba∈R，b＞0，ab＜1⇔a＜b.2．不等式的性质(1)对称性：ab⇔ba；(2)传递性：ab，bc⇒ac；(3)可加性：ab⇔a＋cb＋c；ab，cd⇒a＋cb＋d；(4)可乘性：ab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbc；ab0，cd0⇒acbd；(5)乘方法则：ab0⇒anbn(n≥2，n∈N)；(6)开方法则：ab0⇒nanb(n≥2，n∈N)；(7)倒数性质：设ab0，则ab⇔1a1b.3．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}xx≠－b2aRax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}[常用结论]1．若a＞b＞0，m＞0，则ba＜b＋ma＋m；-3-若b＞a＞0，m＞0，则ba＞b＋ma＋m.2．(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间．3．恒成立问题的转化：a＞f(x)恒成立⇒a＞f(x)max；a≤f(x)恒成立⇒a≤f(x)min.4．能成立问题的转化：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a＞b⇔ac2＞bc2.()(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×二、教材改编1．函数f(x)＝3x－x2的定义域为()A．[0,3]B．(0,3)C．(－∞，0]∪[3，＋∞)D．(－∞，0)∪(3，＋∞)A[要使函数f(x)＝3x－x2有意义，则3x－x2≥0，即x2－3x≤0，解得0≤x≤3.]2．设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为()A．A≥BB．A＞BC．A≤BD．A＜BB[∵A－B＝(x－3)2－(x－2)(x－4)＝x2－6x＋9－x2＋6x－8＝1＞0，∴A＞B，故选B.]3．设ba，dc，则下列不等式中一定成立的是()A．a－cb－dB．acbdC．a＋cb＋dD．a＋db＋cC[由同向不等式具有可加性可知C正确．]-4-4．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为x－12＜x＜13，则a＋b＝________.－14[由题意知x1＝－12，x2＝13是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，则－ba＝－12＋13，2a＝－12×13，解得a＝－12，b＝－2(经检验知满足题意)．∴a＋b＝－14.](对应学生用书第108页)⊙考点1比较大小与不等式的性质比较大小的五种常用方法(1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、配方、有理化、通分等)．(2)作商法：直接作商与1的大小比较，注意两式的符号．(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较．(4)不等式的性质法．(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．1.若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是()A．a＋c≥b－cB．(a－b)c2≥0C．ac＞bcD.ba≤b＋ca＋cB[(不等式的性质法)a，b，c∈R，且a＞b，可得a－b＞0，因为c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故选B.]2．若a0，b0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为()A．pqB．p≤qC．pqD．p≥qB[法一：(作差法)p－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝(b2－a2)·1a－1b-5-＝b2－a2b－aab＝b－a2b＋aab，因为a0，b0，所以a＋b0，ab0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q0，故pq.综上，p≤q.故选B.法二：(特殊值排除法)令a＝b＝－1，则p＝q＝－2，排除选项A、C;令a＝－1，b＝－2，则pq，排除选项D.故选B.]3．(2019·全国卷Ⅱ)若a＞b，则()A．ln(a－b)＞0B．3a＜3bC．a3－b3＞0D．|a|＞|b|C[法一：由函数y＝lnx的图像(图略)知，当0＜a－b＜1时，ln(a－b)0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当ab时，3a3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当ab时，a3b3，即a3－b3＞0，故C正确；当ba0时，|a||b|，故D不正确．故选C.法二：当a＝0.3，b＝－0.4时，ln(a－b)＜0,3a＞3b，|a|＜|b|，故排除A，B，D.故选C.]4．设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．[5,10][法一：(待定系数法)设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是得m＋n＝4，n－m＝－2，解得m＝3，n＝1.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.法二：(运用方程思想)由f－1＝a－b，f1＝a＋b，得a＝12[f－1＋f1]，b＝12[f1－f－1]，∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，-6-∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.法三：(借助线性规划)由1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f(－2)＝4a－2b过点A32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.](1)尽管特值法可以较快的排除干扰选项，但直接应用该法作出正确判断是有风险的，如T2，T3.(2)利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件，如T1，T4.⊙考点2一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤解下列不等式：(1)3＋2x－x2≥0；(2)ax2－(a＋1)x＋10(a∈R)．[解](1)原不等式化为x2－2x－3≤0，即(x－3)(x＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)若a＝0，原不等式等价于－x＋10，解得x1.若a0，原不等式等价于x－1a(x－1)0，解得x1a或x1.若a0，原不等式等价于x－1a(x－1)0.①当a＝1时，1a＝1，x－1a(x－1)0无解；-7-②当a1时，1a1，解x－1a(x－1)0得1ax1；③当0a1时，1a1，解x－1a(x－1)0得1x1a.综上所述：当a0时，解集为xx1a或x1；当a＝0时，解集为{x|x1}；当0a1时，解集为x1x1a；当a＝1时，解集为；当a1时，解集为x1ax1.[母题探究]将本例(2)中不等式改为x2－(a＋1)x＋a0(a∈R)，求不等式的解集．[解]原不等式可化为(x－a)(x－1)0，当a1时，原不等式的解集为(1，a)；当a＝1时，原不等式的解集为；当a1时，原不等式的解集为(a,1)．解含参不等式的分类讨论依据提醒：含参数讨论问题最后要综上所述．[教师备选例题]解不等式：x2－2ax＋2≤0(a∈R)．[解]对于方程x2－2ax＋2＝0，因为Δ＝4a2－8.(1)当Δ＜0，即－2＜a＜2时，x2－2ax＋2＝0无实根．又二次函数y＝x2－2ax＋2-8-的图像开口向上，所以原不等式的解集为；(2)当Δ＝0，即a＝±2时，x2－2ax＋2＝0有两个相等的实根，当a＝2时，原不等式的解集为{x|x＝2}，当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－2}；(3)当Δ＞0，即a＞2或a＜－2时，x2－2ax＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x1＝a－a2－2，x2＝a＋a2－2，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}．综上，当a＞2或a＜－2时，解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}；当a＝2时，解集为{x|x＝2}；当a＝－2时，解集为{x|x＝－2}；当－2＜a＜2时，解集为.1.(2019·济南模拟)已知不等式ax2－5x＋b0的解集为xx＜－13或x＞12，则不等式bx2－5x＋a0的解集为()A．x－13＜x＜12B．xx＜－13或x＞12C．{x|－3x2}D．{x|x－3或x2}C[由题意知a0，且12，－13是方程ax2－5x＋b＝0的两根，∴－13＋12＝5a，－13×12＝ba，解得a＝30，b＝－5，∴bx2－5x＋a＝－5x2－5x＋300，即x2＋x－60，解得－3x2，故选C.]2．不等式2x＋1x－5≥－1的解集为________．xx≤43或x＞5[将原不等式移项通分得3x－4x－5≥0，等价于3x－4x－5≥0，x－5≠0，解得x≤43或x＞5.∴原不等式的解集为xx≤43或x＞5.]-9-3．解不等式12x2－axa2(a∈R)．[解]原不等式可化为12x2－ax－a20，即(4x＋a)(3x－a)0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a3.当a0时，不等式的解集为－∞，－a4∪a3，＋∞；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a0时，不等式的解集为－∞，a3∪－a4，＋∞.⊙考点3一元二次不等式恒成立问题在R上恒成立，求参数的范围一元二次不等式在R上恒成立的条件不等式类型恒成立条件ax2＋bx＋c0a0，Δ0ax2＋bx＋c≥0a0，Δ≤0ax2＋bx＋c0a0，Δ0ax2＋bx＋c≤0a0，Δ≤0不等式(a－2)x2＋2